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Vincenzo Amato 



[Memoria XXIII.] 



(dove, per semplicità, si è soppresso 1' apice p negli elementi di ciascuna matrice). Se 

 denotiamo con H' k il minore principale di H'^ contenuto nelle prime righe di H'W si ha 



ì H' H | =S I H pa || U p \\Ù | , 



essendo la somma estesa a tutte le combinazioni p e a, a k a k, degl'indici 1, 2,..., m p , 

 e denotando con H p ;0 il minore di % H^ corrispondente alle dette combinazioni delle righe 

 e delle colonne , e con Up , U a i minori d' ordine k delle prime k righe della matrice TJtà 

 corrispondenti alle combinazioni p e o delle colonne. 



Non è difficile riconoscere che | H\ | è una forma algebrica delle Uij{i,j— l,..,m p ) 

 non identicamente nulla. Infatti dalla precedente relazione si trae che il prodotto 



«Vr, 



ha per coefficiente un minore principale di ordine k di H^, quindi se i minori principali 

 di ordine k di H ll ' ] non sono tutti nulli, -H',. non è identicamente nullo. In caso contrario, 

 consideriamo un termine della forma 



'2' 2 r K-t r K-ì ' li II ' K* li 



Esso si presenta due volte nello sviluppo di | H' h \ e ha per coefficienti i due minori 

 di coniugati, e perciò eguali, corrispondenti alle combinazioni 



{y i r A _, , r A ) , (r, , r 2 , . . . , r ft _j ;-' ft ) 



delle righe e delle colonne di H ( p ] (o inversamente). Ciascuno di questi due minori è un 

 orlato di un minore principale di ordine k — 1 di H ip K Ora avendo supposto che siano 

 nulli tutti i minori principali d'ordine k di H { p\ non è ammissibile che siano nulli tutti 

 i minori principali d' ordine k — 1 (altrimenti, per la simmetria di H(p\ sarebbero nulli 

 tutti quelli di ordine k-\~ì,.... e sarebbe nullo lo stesso I | ), ed allora non possono 

 esser nulli tutti gli orlati di un minore principale d' ordine k — 1, diverso dazerò, di 

 e quindi | 11',, | non può essere identicamente nullo. 



Pertanto, in virtù del principio delle diseguaglianze, possono determinarsi le in 

 modo che si abbia 



| H\\\H\_ | .... ! H' mp | = |zzO. 

 La proposizione è così dimostrata. 



LE) 



Se p è pari, faremo un' ipotesi analoga per il quadrato E 1 della matrice formata 

 con le righe di B di indici 



m l -f m % + . . . + ffh_ t + 1, , >»i + nt 



j_ 



2 ~T 



Infine notiamo che la condizione 



1^,1 \a t \.,.\ a mp l =|= o 



