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Vincenzo Amato 



[Memoria XXIII.] 



con / 



2,..., — per p pari, / = 0, 1, 2,..., - — - per p dispari. Nel caso in cui p sia 



pari, essendo H simmetrica, la matrice // 2 del secondo membro della (3) deve essere 



simmetrica. La matrice H P è pure simmetrica e di ordine m p . Le H_j , denotano le ma- 

 trici quadrate ottenute dalle B [l) scambiando le orizzontali con le verticali. 



Inversamente, se il prodotto #(=.£?/?_,) è della forma data dal secondo membro del- 

 la (3), la soslituzione B~ x iìB è ortogonale. 



Pertanto si può enunciare il seguente teorema : 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una sostituzione lineare B _1 QB di 

 grado p sia ortogonale, è che B soddisfi alla (2) nella quale è H una sostituzione 

 lineare simmetrica della forma data dalla (3). 



Dalla (2) si deducono subito le condizioni cui debbono soddisfare gli elementi b di B. 

 Il numero di queste condizioni è 



» («4-1) 



">l ~ 



m 



- 1 - m ( /// 4-1) — - m ini - - 1) 



2 P P ' 2 P P ' ' 



2 -A 



se p è pari, e 



— 2 



m 



. /// ( /;/ 4- 1 ) 



1—1 2 P P 



se p è dispari. Quindi se si suppone di aver fissato nella B gli elementi delle matrici 



B 



(\>-) 



= 1,2,. ..,/>), il numero delle condizioni diventa 



i""*s 



-T»l\ + + 



se p è pari, e 



71 (« + I 



> I * I 



■ + «*j 4- 



/// 



p-i 



se p è dispari. 



4. Consideriamo ora una sostituzione S qualunque ortogonale di grado p 



S = B- 1 IÌB 



e supponiamo (come si può sempre fare) che B soddisfi alle condizioni indicate al n. 2. 

 Determinata la sostituzione H = BB_ t , risulterà determinata una sostituzione lineare P 

 d' ordine ;/ : 



, B {U iB m 



/ o 



(4) 



P = 



\ 2 

 > 



i/w 

 l / (1) o .. 



4/ (2) o 

 o o 



D [p) 



