Le sostituzioni ortogonali pei ioti/die 



Per ottenere ciascuna di queste sostituzioni S una sola volta si può ricorrere alla 

 rappresentazione data dalla (5) e si può quindi applicare quanto abbiamo detto nel n. 1, 

 sostituendo alla B il prodotto PA , perchè la trasformata di tì mediante PA fornisca , 

 ciascuna una sola volta, le sostituzioni ortogonali di grado p per le quali D (z) per 



\= — = \ =w ' ~ /< , = ---- = x =zo)P 



1 >// l II — m p" l -1 



sia diverso da zero. 



5. Se p è dispari, poiché 1' equazione caratteristica di <I> , ovvero quella di Q , non 

 ammette la radice — 1, si ha: 



| <I> | = | C" 1 || Q [| C | = | Q | = 1, 



cioè la <1> per p dispari è destrorsa, anzi cayleyana (*). 



Lo stesso quindi si può dire per tutte le sue trasformate e si conclude che : 



Tutte le sostituzioni ortogonali di ordine n e di grado p dispari sono cayleyane. 



Se p è pari ed è n/ p =^0, allora l'equazione caratteristica di $ non ammette la ra- 



dice — 1, e però essa è cayleyana. Se invece m p > 0, allora — 1 è radice dell'equazione 



~2~ 



caratteristica di <I> con la multiplicità m p e si ha : 



\ $ | =(— 1). 2 



In questo caso <P è una sostituzione ortogonale non cayleyana della specie m p , se- 



condo la classificazione del Cipolla, e destrorsa o sinistrorsa secondo che sia ni p pari o 

 dispari. 



Ora, dalla (6) segue che | S -f- / ] e | $ -f- J \ hanno la stessa caratteristica, quindi, 

 in base a proprietà note delle sostituzioni ortogonali ( 2 ), possiamo concludere : 



Se p è pari tutte le sostituzioni ortogonali di grado p corrispondenti alle 

 partizioni (m, , . . . , m^) nelle quali sia m p = sono cayleyane. Invece tutte le 



sostituzioni ortogonali di grado p corrispondenti alle partizioni (m, , . . . , m p ) nelle 

 (/ali sia \m p > sono non cayleyane della specie m p e destrorse o sinistrorse se- 



condo che sia m p pari o dispari. 



2 



Vincenzo Amato. 



Catania, 14 giugno 1914. 



(') Cfr. CIPOLLA, nota cit . . pag. n. 

 ( 2 ) CIPOLLA, nota cit., pag. 14, teor. 9. 



