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cos h cos a = m sin (q> — M), und hiermit die zweite der Glei- 

 chungen (10) dividirt, gibt 



cos ff sin 6 cos M tang 6 



(16) ..... tang a = : — ; — = — — ; — woraus man a 



y 1 6 m sin — M) sin (q> — M) ' 



findet. 



Von den Azimuthen zweier Strahlen, welche beziehungsweise numerisch 

 gleiche h und d, jedoch mit entgegengesetzten Zeichen haben, lässt sich nun 

 auch das so eben von ihren Stundenwinkeln Nachgewiesene zeigen. 



Ist bei dem einen Strahle h und d' positiv und bei dem zweiten negativ, 

 so zeigen die oben in a) und ß) für cos 6 gefundenen Werth e, dass bei beiden 

 Strahlen 6 und cos 6 gleiche Zeichen haben, nämlich dass sie bei dem einen 

 Strahle beide positiv und bei dem andern beide negativ sind; mithin haben M 

 und q> — M für beide Strahlen gleiche Zeichen und Werthe, somit wird bei 

 beiden Strahlen tang a gleich gross, sein Zeichen aber, weil von tang 6 ab- 

 hängig, bei dem einen -J- und bei dem andern — sein. Es werden sich 

 also die Azimuthe dieser Strahlen zu 180° ergänzen. 



Ist bei dem einen Strahle h positiv und d negativ, bei dem zweiten aber 

 h negativ und rl positiv, so folgt aus den oben in y) und d) gefundenen Wer- 

 then von cos 6, dass 6 und cos 6 bei jedem Strahle entgegengesetzte Zeichen 

 haben; demnach wird M für beide Strahlen dasselbe Zeichen und denselben 

 Werth haben, somit auch </j — M. Die Werthe von tang a werden daher auch 

 hier gleich, aber von entgegengesetzten Zeichen sein, demnach sich auch 

 in diesem Falle die Azimuthe beider Strahlen zu 180° ergänzen. 



7. 



Am häufigsten wird der refiectirte Strahl in der Höhe h = o, also in 

 horizontaler Richtung gebraucht. 



Aus der 1. der Gleichungen (10) hat man in diesem Falle 

 o = sin sin qp -J- cos d cos y cos 6, 

 woraus man zur Berechnung des Stundenwinkels des in horizontaler Richtung 

 refiectirten Strahles 



(14) . . . cos 6 = — tang & tang q> findet. 



Setzt man diesen Werth statt cos 6 in die 3. der Gleichungen (10), so folgt 



cos a = — sin ö Tcos q> 4- ^—^1 , oder 

 L cos <M 



(15) .... cos a = — ^ , woraus sich a ergibt. 



COS (f) 



Man hat ferner 



, „ , cos U> -f- rj) COS (<f> — d) ' 



sin' 2 6 — 1 — cos 6 = 1 — tang' 2 d tang' 2 (/> a= — — — — , also 



ö ö cos 2 q> cos 2 d 



vermöge der 2. der Gleichungen (10) 



(16) .... sin « = l/cos ( 9 + J) cos fr - ^ ^ h durch die 



COS (p 



Gleichung (15) dividirt, gibt 



