67 



Man sieht also, dass die einfache Formel VI. innerhalb ziemlich weiter 

 Grenzen angewendet werden kann. Beim Ausstecken von Horizontalem^ en z. B. 

 können die Distanzen nach derselben mit aller, der strengen Formel eigenen 

 Schärfe bestimmt werden, wenn man die bezüglich des ersten Correctionsgliedes 

 angegebene Regel befolgt. 



Sind die Winkel a und ß, welche in der Formel I. benützt werden, oder 

 die Einstellungen, h, o und u in III. gewissen mittleren Fehlern unterworfen, 

 so werden auch die daraus berechneten Lattenhöhen um ein Gewisses unsicher 

 sein — einen mittleren Fehler haben. Denselben nun als Function jener Fehler 

 darzustellen, ist die Aufgabe dieses Abschnittes. 



Es soll zuerst die genaue Formel I. berücksichtiget werden. 



Es sei 



7», der mittlere Fehler des AVinkels a, 



m 2 der des Winkels ß 

 und m der des berechneten H, 

 so ist bekanntlich: ') 



-=±l/(£)'- + Gf)V 



Es ist aber 



fdH\ , sin ß ( . j- . , ^ 



I - — I = d. — I sm (ß — «) sm cc — cos (ß — a) cos a I 



\.d aJ sm a' 2 V J 



sin ß cos ß 1 sin 2 

 «• s-= = a d — — 



(jf ) = iüT^ ( cos ß cos {ß - a) ~ sin ß sin {ß - a) ) 



cos (2 ß — a) sin a cos (2/3 — a) 

 : = d. — 



sin 2 a. 



Demnach 



±— 1/ - 



sin' 2 a W i 



sin' 2 2 ß . m^-^-sm 2 a cos' 2 (2 ß — «) .m 2 ' 2 VII. 



Es ist schon aus diesem Ausdruck Folgendes ersichtlich: 



1. Der Fehler der Lattenhöhe m wird desto grösser, je grösser ß und je 

 kleiner a wird; d. h. je grösser die Höhe H (positiv oder negativ) und je grösser 

 die Distanz D ist. 



2. Durch Vergrösserung der Constanten d wird der Fehler m kleiner. 

 Dies leuchtet vielleicht nicht auf den ersten Bück ein, aber sehr leicht durch 

 folgende Betrachtung: 



Da der Winkel a in der Regel — und gerade in den ungünstigeren Fällen 

 sehr klein ausfällt — so kann man auch sin a = a setzen, vernachlässigt man nun 

 noch das zweite Glied unter der Wurzel, in welchem sin' 2 a mit einer Grösse, die 



