2 



SOPHUS LIE. MATHEMATISKE MEDDELELSER II. 



I den første Afhandling gav jeg en fuldstændig Begrundelse 

 af den af mig fer opstillede fundamentale Sætning, at enhver uende- 

 lig continuerlig Gruppe bestemmer en uendelig Eække Differential- 

 invarianter (som kunne defineres som Løsninger af visse fuldstændige 

 Systemer) og illustrerte samtidig dette Theorem gjennem mange 

 vigtige Exempler, der vare hentede fra Differentialligningernes al- 

 mindelige Theori. Der paavistes t. Ex , at ethvert System partielle 

 Differentialligninger bestemme et ubegrændset Antal Dilferential- 

 Invarianter og Covarianter. Ethvert Spørgsmaal, om givne analy- 

 tiske Udtryk gjennem Transformationer, der tilhøre en given Gruppe, 

 kunne bringes til givne Former, besvares derigjennem, at man under- 

 søger om visse invariante Differentialrelationer finde Sted. 



I den anden Afhandling gjenoptog jeg mine gamle Undersøgel- 

 ser (1872, 1874) over lineare partielle Differentialligninger af første 

 Orden, som tilstede en bekjendt Gruppe. Det blev først udførlig 

 paavist, at man virkelig gjennem en algebraisk Discussion af Grup- 

 pens Sammensætning kan angive paa Forhaand Antal og Orden af 

 de nødvendige Hjælpeligninger. Dernæst opstilledes de nødvendige 

 og tilstrækkelige Criterier for at en given Gruppe af Punkttrans- 

 formationer gjennem en Punkttransformation kan bringes til en 

 given Form. Særlig bevistes de før opstillede Sætninger om to 

 reciproke, enkelt-transitive Grupper B^f. . S,/; CJ'. . . C,/ mellem 

 de Variable . . . x^. 



Integrationen af et hvilketsomhelst System partielle Differen- 

 tialligninger, (hvis almindelige Integral kun indeholder arbitrære 

 Constanter og) som tilstede en bekjendt Gruppe kan udføres efter 

 min gamle almindelige Methode (1874). Man kan t. Ex. herigjen- 

 nem bestemme enhver continuerlig endelig Gruppe Gr med bekjendt 

 canonisk Form, naar man kjender den endelige Gruppe G^, som 

 lader denne canoniske Form invariant. Indeholder G' mindre end 

 6 Parametere, saa udkræves i det Høieste Integrationen af en Ric- 

 catisk Ligning af første Orden. Er G ligesammensat med den al- 

 mindelige projectiviske Gruppe af et Rum med n Dimensioner, saa 

 findes G altid (o: selv om G' er uendelig) gjennem Integration af 

 en linear Ligning af Orden n -f 1. 



