2 



SOPHUS LIE. MATHEMATISKE MEDDELELSEB III. 



Sammes Integrabilitetsbetiiigelser udtrykkes ved 



(Xi Zk) = 2" 6'iks Xs , (Ai A^) = -3 Ciks , 



hvor Constanterne c tilfredsstille den Jacobiske Identitet; medens 

 der ikke bestaar nogen Eelation 2" 91 (a) Ai = 0. Kjendes et System 

 inf. Transformationer Xif, som giver (Xi Xk) = - Ciks Xg, saa fin- 

 des let et (eller rettere sagt uendelig mange) tilsvarende System 

 Ai f, og da er / = integrabel. Det er imidlertid at bemærke, 

 at ingenlunde ethvert ved Integration af Ok /' = fremkommet Lig- 

 ningssystem 



= ^k (^1 . . .^k «1 . . .ar) 



bestemmer en Gruppe. Forudsætter man. at for et vist Værdi- 

 system «i er lig ^k, saa erholder man en continuerlig Gruppe med 

 identish Transformation og som Følge heraf med inverse Transfor- 

 mationer. Vil man ikke paa Forhaand forlange, at den sidste 

 Gruppe skal have en identisk Transformation, saa er det ikke de- 

 stomindre muligt at bestemme de ved Integrationen af Qk /" = 

 optrædende arbitrære Fimktioner, saaledes som ved en anden An- 

 ledning skal paavises. Tilfoies skal, at det, naar Systemet Xi er 

 givet, i det Væsentlige er ligegyldigt, hvilket tilsvarende System 

 Ai man vælger.^ Giver en continuerlig Gruppe 



de r uafhængige inf. Transformationer Xif...Xrf, saa bevises først, 

 at Skaren ^ c\Xif forbliver invariant ved Overgangen fra x til x' \ 

 heraf udledes gjennem simple Operationsbetragtninger, at enhver 

 Transformation Xi = fi [x^. . .ooj,a^ . .ar) tilhører en enleddet Gruppe 

 med den inf Transformation -2" a Xk f. Enhver continuerlig Gruppe 

 med r Parametere overføres saaledes ved Indførelse af nye Parame- 

 tere i en r-leddet Gruppe med identisk og inverse Transformatioyier. 



Enhver r-leddet Gruppe indeholder 00^ enleddede Under- 

 grupper, der spille samme Rolle som Substitutionsgruppernes Cycler, 



1 Her skal foreløbig nævnes, at Hr. Engel tiar gjort opmærkeom paa, at Gruppen 

 x' = x egentlig talt ikke indeholder en identisk Transformation. 



