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daher die Gleichungen einer durch den Ursprung gehenden, auf dieser Ebene 

 senkrechten Gei-aden U 



x = — p z> 



y -== '— q& 



s dz 



wenn man — — = p, — = q setzt. 



v x v y 



Der Neigungswinkel Sl des Lichtstrahls L mit der Berührungsebene wird 

 daher am einfachsten durch seinen Complements- Winkel, den die Geraden L und 

 L' einschliessen, bestimmt. Es ist sonach der Grad der Helle in dem ange- 

 nommenen Puncte 



. (} 1 - Ap - Bq 



sin Jl = — , , 



v^p 2 4- ? 2 + i v 7 - 42 + ß2 4- 1 



Setzen wir der Kürze halber 



\/A* -f -f 1 . sin Sl = C, 



so ist 



C. \/p* -f 9 2 _|_ i — i — Ap — B q 



oder 



pi (C-2 — A*) f ql — ßi) -f (C2 — 1) -- 2 ^ q + 2 -f 2Bq = 0. . (1) 

 die allgemeine Bedingung s- Gleichung für Linien gleicher Helle. 



Werden aus der Gleichung der Fläche f (x, y, z) = die partiellen 



Differential-Quotienten — — ' -— — bestimmt, und diese Werthe für p und q in (1) 

 v x y 



gesetzt, so erhält man eine zweite Gleichung /*] (x, y, z) — 0, welche in Ver- 

 bindung mit jener der Fläche , die Intensitäts - Linien selbst fixirt. Nachdem 

 jedoch f { y, z) = für sich betrachtet, wieder eine krumme Fläche bestimmt, 

 so ist ersichtlich, dass die Linien gleicher Helle einer Fläche auch als Durch- 

 schnitte dieser Fläche mit einem System gleichartiger anderer Flächen (1) 

 betrachtet, und als solche dargestellt werden können. 



3. 



Soll die Grenzcurve zwischen Licht und Schatten, d. i. jene Intensitäts- 

 Linie gesucht werden, in welcher die Lichtstrahlen die Fläche blos berühren, 

 wodann der Neigungswinkel Sl, also auch C gleich Null wird, so muss für diese 

 Curve der obige Brach, also auch dessen Zähler gleich Null werden, woraus 

 Ap + Bq = 1 (2) 



folgt. 



Aus der Betrachtung der Gleichungen (1) und (2) ist schon ersichtlich, 

 dass sich für diesen speciellen, jedoch wichtigsten Fall die Auffindung der 

 Intensitäts-Linie wesentlich vereinfacht. 



4. 



Für die hellsten Puncte der Fläche muss auch sin Sl den grössten 

 Werth annehmen, d. h. im Allgemeinen gleich 1, also Sl = 90° werden. Unter 

 letzterer Voraussetzung ist 



