Das Paraboloid. 



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14. 



Legt man den Ursprung des elliptischen Paraboloids in den Scheitel 

 desselben, so dass dieser den höchsten Punct der Fläche bildet, so ist 



r2 



SL + -11 = - 2. 

 p Pi 



die Gleichung desselben, daher 



5 x 



k)x p 



£i = _ 1 



dy p 



welche Werthe in (1) gesetzt, 



C 2 - A 2 C-2 — m , n AB A n B 



x 2 4- y 2 — 2 — 2 x — 2 — t/ 4- 



P 2 P> 2 PPi P 



_|_ (C-2 - 1) = (18) 



die Gleichung eines Systems von Cylindern geben, welche im Durchschnitte mit 

 dem Paraboloide die gewünschten Intensitätslinien bilden. 



Da die Gleichung (18) die Variable z> nicht enthält, die Erzeugenden 

 somit parallel zur Z-Axe gehen, so gibt uns besagte Gleichung alsogleich die 

 Projectionen der Linien gleicher Helle auf der Coordinatenebene X Y. Die 

 horizontalen Projectionen der Intensitäts-Linien eines Para- 

 boloids mit verticaler Axe sind somit Kegelschnittslinien. 



Um die Gattung dieser Linien zu bestimmen, beziehen wir dieselben auf 

 ein neues Coordinatensystem, welches eine solche Lage hat, dass der Ursprung 

 derselbe bleibt, und die beiden X-Axen den Winkel a, die F-Axen den Winkel ß 

 einschliessen. Zuerst wollen wir j> doch den Mittelpunct der Curven, dessen 

 Coordinaten a und b sein mögen, suchen, indem wir für x und y die Werthe 

 x -j- a, y -j- b substituiren. Hiedurch verwandelt sich (18) in 



C-2 _ A 2 _ . C* - B 2 2 AB . 

 , x i j yz _ 2 x y 4- 



P 1 P\ PPi 



, n f C 2 — A 2 AB A "| . 



+ 2 a- a — b Ar 



P 2 PP\ P J 



r ei - B* . AB B 1 

 4- 2 y \ : b — a — I 4- etc. ...=() 



|_ pi 2 ppi p\ j 



und es muss sonach 



C-2 — A 2 __ b AB A _ o 



P 1 PPi P ~~ 



C2 — B 2 AB B 



; a. ■=— 



Pi 1 PPi Pi 



