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Schreiben wir nun für x = w, so folgt 



F (h, o>) = F (k, tp) - F (*, </>) . . . . . (11) 



cos o) = cos q cos \p -}- sin qp sin ip \/l — Ä:' 2 sin' 2 « (12) 



und mit Rücksicht darauf, dass 



sin ( — q) = — sin q ; 



dq> 



y 1 — & 2 sin 2 «p 



yl — k 2 sin' 2 q 

 

 oder F(Ä, — q) = — F(k,q>) ist, verwandeln sich die Gleichungen (11) und (12) in 

 die folgenden 



F'[k,o>) = F(Ä,v) + F'iKvi (13) 



cos o) = cos xp cos g> — sin xp sin <p \/l — k 2 sin' 2 (14) 



die Gleichungen (13) und (14) enthalten somit das Additions-, die Gleichungen 

 (11) und (12) das Subtractions-Theorem für die elliptischen Integrale der ersten Art. 

 Die Gleichung (14) kann auch durch die folgenden ersetzt werden. 



sin q COS xp A xp -\- sin xp COS q> A q 

 Sin 0) = — r4 7-5 



1 — k l sm 2 q sm 2 <p 



sin xp sin q> A q A d> 



*9 



COS xp COS q 



1 — Ä' 2 sin' 2 q sin' 2 ip 

 £ # A q -j~ £ ?< // <p 



f <7 ip £ 9 J <p A <l> 



(15) 

 (16) 

 (17) 



wobei A q = y/l — &' 2 sin' 2 9) J ^ = \/l — Zd 2 sin' 2 iL bedeuten. 



II. 



Durch wiederholte Anwendung des Additions- und Subtractions-Theorems 

 lassen sich ohne Schwierigkeit die Formeln für die Multiplication und Division 

 der elliptischen Integrale der ersten Art aufstellen. 



Für die Multiplication ergeben sich die Formeln: 



Fß,or) = m F{k,q) ; tg \ 

 für die Division dagegen 



F(k,q) = 



) = tg (jp n Aq 

 F(k, q m ) 



und 



COS «jPn 



1 r u 



COS g> n +l + COS q n — 1 == — r;, 



1 ft 2 sm- q sm 2 «y-n 



So würde beispielsweise für die Verdoppelung folgen 



und 



n -J- 1, also n == 1, n 



?>n == Pn— 1 == 



(18) 



(19) 



