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und demnach 



F(k, w) = 2 F(Ä, <l); tg * o* = tg <p J 9 

 für die Zweitheilung' geben die Formeln (19), wenn darin wieder 

 m = n -j- 1 = 2 ; w = 1 5 ^ n = <p ; g n — 1 = 



gesetzt wird 



. , r , ll . 2 cos <p cos q> 



F{k, q>) = J F(Ji,tp 2 )- : COS <p. 2 = * f 1 



1 — ß 2 sm <p- sm 2 <p 



1 — 2 sin' 2 <p 4- Ä ? sin 4 q> 



und 



Für die Dreith eilung wird 



m ==.-« -j- 1 = 3] n = 



F{k, <p) = i F(k, <p 3 ); cos <p 3 = 



1 — /i 2 sin 4 q> 



2 ; ?n — <p. 2 5 <Pn— 1 = 

 2. COS <p. COS qp. 2 



COS (p.. 



Durch Substitution des Werthes für cos <p 2 und sin q>. 2 ergibt sich eine 

 Gleichung, welche eine Relation zwischen q> 3 und <p gibt, und aus welcher der 

 Werth von q> berechnet werden kann. 



2. Setzen wir nun sin q> = \T — 1 



<P (x) 

 rp Ix) 



= it g x, so wird 



V[n> (*)] 2 - b (v)? ■ Vbp (*)] 2 - v [cp = |/i — - (i — k 2 ) 



= \/l — b 2 sin 2 x 

 [ö (x) q>' (x) — cp (x) tf»' (x)] dx = i dx 



und 



d q> 



yl - k 2 sin 2 ? 



dx 



V/1 — (1 — & 2 ) sin 2 a; 



arc (7g = I sin q) = 



2 i 



yl — b' 2 sin 2 x 



1 -f- sin g> 1 



1 — sin q> i 



(i) 



(-f 



Aus den Gleichungen (1) und (2) folgt unmittelbar, dass ein elliptisches 

 Integral der ersten Art, welches in imaginärer Gestalt erscheint, durch ein ellip- 

 tisches Integral derselben Art in reeller Form ersetzt werden kann. 



B. Elliptisches Integral der zweiten Ar 



I. 



Auch das elliptische Integral der zweiten Art 



dq> \ 1 — k 2 sin 2 qc 



E{k,<p) 



(1) 



