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lässt die bei den elliptischen Integralen der ersten Art in Anwendung gebrachte 

 »Substitution 



q (x) COS X 



sm qi = 



zu. Es wird 



<f* y/i _ k 2 sin 2 x 



dq> V i — k ' 2 sin ' 2 <P = — (1 — Ä 2 ) 



c/a; 



— k 2 sin 2 xp 



(2) 



x x 

 durch Anwendung der Reductionsformel für 



dq> 



ergibt sich 



dx 



[a -f- b cos ?'] n 



smx cosx 



— k 1 sin3a;13 



& 2 y/l — & 2 sin' 2 < 



da? j/l — & 2 sm 2 a? 



Wird nun dieser Werth in die Gleichung (2) eingesetzt, so folgt 



q> x 



t 



cosx 



dq \/l — k 2 sin 2 ?) = — 



dx yl — k 2 sin 2 a; -J- k 2 sinx. 



(3) 



x x 



Um die untere Integrationsgrenze x { zu bestimmen, muss in der Gleichung 

 cosa; 



sm q ■— 



die Amplitude q = gesetzt w erden, dadurch wird 



71 71 



cosa.- == cos == cos — — • cos 



(0) -f sin ~- • sin(0) y^l - & 2 sin 2 « . . (4) 



und die Gleichung (3) erscheint in der Form 



dq \ 1 — Ä 2 sin' 2 g> = 



dx yl — Ä 2 sin' 2 a; -j - 



dx yl - k 2 sin ; 







-}- fc 2 sin' 2 # sin sin (0) 



Auch hier ist es zulässig, die Gleicliung (4) als einen speciellen Werth 

 der allgemeineren 



cos x = cos & cos q> -{- sin \b sin <p \/l — k 2 sin 2 a? 

 zu betrachten, mithin wird auch die Gleichung 



q> \p x 



dq> yl — k 2 sin-<j> 



dx yi — k- 



dx yl — k 2 sin 2 x 



-\- k 2 sin <l> sin q sin x 

 ihre volle Giltigkeit besitzen. 



(6) 



