Wird nun für x = w gesetzt, so folgt 

 ; E (k, «) = E(k, ) — E {k, cp) -|- k 2 sin 4> sin f sin w ...... (6) 



cos o) = cos <p cos cp -f- sin d sin cp \/l — k- sin" 2 « (6) 



für q> = — q> liefern die Gleichungen (6) und (7) 



E (Ä, o)) — E(k, «p) -f- E{k, cp) — k 2 sin \i> sin cp sin w (8) 



cos w = cos cos g> — sin d> sin \ 1 — £ 2 sin 2 o) (9) 



In den Gleichungen (8) und (9) ist das Additions-, in jenen (6) und (7) 

 das Subtractions - Theorem für die elliptischen Integrale der zweiten Art aus- 

 gesprochen. 



II. 



Zu dem eben entwickelten Resultate gelangen wir auch auf dem folgenden 

 Wege. Es ist 



d [E(k, ?■)] = b 2 ~ + k 2 cos 2 q> ~ 



L v J Jcp ' Jq> 



d [E(k, x)] = b 2 + ^ 2 cos 2 x 4^ 



(10) 



Substituiren wir aus den Gleichungen 



k 2 sin 2 x I 



(11) 



cos x = cos <J> cos cp -j- sin if> sin cp yl — k 2 sin 2 x 

 cos qp — cos \b cos x ~\- sin d> sin x yl — k 2 sin 2 cp 



COS Cp COS X 



die Werthe für 3 und in die Gleichungen (10), so folgt 



Acp Ax 



dcp 



d [E (k, <f>)] = (b 2 -j- k 2 cos cp cos ip cos x) — — -{- A 2 cos <p sin 0- sin x d cp 



d [E (k, x)] == (b 2 -\- k 2 cos cp cos <l> cos x) ^ ■ -f- k 2 cos a? sin d» sin <p da? 



d<p da; 



Vermöge jeder der beiden Gleichungen (11) ist aber — - — = — — - — 

 ° J ^cp Ax 



und somit 



d [E(k, ?')] -j- d[E(kj x)] = k 2 sin d (cos cp sin er dp -J- cos x sin <p dx) 

 und durch die Integration beider Theile der Gleichung 



E(k, cp) -\- E(k,x) = k 2 sin 0> sin <p sin x (12) 



die Gleichungen (11) können aber auch durch die Gleichung 



cos \b — cos cp cos x — sin cp sin x \/l — k 2 sin' 2 d (13) 



ersetzt werden. 



Macht man nämlich die Gleichungen (11) rational und addirt in jeder 

 beiderseits sin* 2 ?' sin 2 a?, so folgt aus beiden nach einfacher Reduction 



cos ^ = cos cp cos x 4^ sin q> sin x Ad> (14) 



Um zu entscheiden, welches von den beiden Vorzeichen zu nehmen 

 ist, bemerken wir, dass für k = 0, die Gleichungen (11) liefern 

 cos x — cos (d — cp) und cos qo = cos (d — x) 



