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dieselben Resultate liefert die Gleichung* (14), wenn das untere Zeichen im 



zweiten Theile der Gleichung beibehalten wird; denn es ist 



cos iL === cos (q> -\- x) und cos x = cos (L — q>), cos q> = cos — x) 

 Es wird daher die Gleichung (12) auch unter der Bedingung 

 cos iL — cos q> cos x — sin iL sin x \/l — k 2 sin' 2 iL 

 ihre volle Giltigkeit behalten. 



Bestimmt man nun die Integrations-Constante so, dass 

 x = und cos iL = cos q> oder iL == q> 



wird, so folgt 



E(k,q>) -j- j£(Ä, a*) = E(k, iL) -j- /; 2 sin 0/ sin <p sin x . (15) 



Schreibt man nun wieder für x = iL und iL == «, so folgt 



w ) = E(li,q>) -J- 2?(ä, iL) — fe" 2 sin g> sin iL sin w (16) 



cos m = cos q> cos 0» — sin q> sin iL ^/l — k 2 sin' 2 oj (17 J 



für q> = — q> wird 



E(h f w) = E(k, iL) — E(k, q>) -f k 2 sin ? sin iL sin « (18) 



cos w = cos q> cos iL -f- sin q> sin iL y'l — k 2 sin' 2 w (19) 



in. 



Analog* den für die Multiplication und "Division der elliptischen Integrale 

 der ersten Art gefundenen Formeln, lassen sich solche für die Multiplication 

 und Division der elliptischen Integrale der zweiten Art aufstellen. 



Für die Multiplication ergeben sich die Formeln 



E(k, q< m ) = m E(k } q>) — k 2 sm<p { sin g> 1 sin q> 2 



-\- sin (p 2 sin 9> 3 -j- . . . -f- sin <p m — l sin<jp m } ; 



1 \ 



tg % (fn-M — qPn— l) = tg q-n J<p J 



Bestimmt man aus der ersten der Gleichungen (20) E(k, q>) und setzt für 



sin q> 2 , sin q> 3 die aus der Gleichung 



. 2 COS q> COS q>n 

 COS qfn-M -f- COS q> a — 1 = — ^ — 



1 — k 2 sm 2 <?< sin 2 <f n 



oder 



2. sin qp n cos q> A q> 



Sin g>n+l + sm g n — 1 — — -yt — r-r r-r 



1 — k 2 sm 2 Q5 sm 2 <p n 



folgenden Werthe ein, so ergibt sich die Formel für die Division der elliptischen 

 Integrale der zweiten Art. 



Wenden wir die Substitution 



sin 9 = iMy = iig ^ • ' : ' (1) 



bfim elliptischen Integral der zweiten Art an, so erhalten wir 



