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dq> yl — k 2 sin' 2 q> = 



sin' 2 q>) 



Aq> 



(1 — ft 2 Sin 2 g>) 



1 — (1 — k' 2 ) sin' 2 « dx 

 cos' 2 x Ax 



. . (2) 



Durch theilweise Integration des zweiten Theiles der Gleichung und nach 

 partieller Substitution von sin q> = itg x ergibt sich 



Eft, q>) = tgq> A q> -\- F(k, q>) — i 



dx \/l — b 1 



oder 

 x 



dx ]/i — b 2 sintx = tgq> Aq> -f- F(Ä, q>) — E(k, q>) 







wobei x = arc ( tg == \ sin q>) 

 zu setzen ist. 



(3) 



(4) 



Die Gleichungen (3) und (4) bieten ein Mittel dar, ein in imaginärer 

 Gestalt erscheinendes Integral der zweiten Art durch einen algebraischen Aus- 

 druck und das elliptische Integral der ersten und zweiten Art reeller Form 

 auszudrücken. 



C. Elliptisches Integral der dritten Art. 



I. 



Um das elliptische Integral der dritten Art 



n(h, k, 9) 



d q> 



[1 -J- h sin' 2 q>] \J 1 — k 2 sin' 2 q> 



(1) 







in ähnlicher Weise, wie dies bei den Integralen der ersten und zweiten Art 

 geschah, zu transformiren ; erscheint es am zweckdienlichsten, die Relationen 



cos x = cos 



cos <jp — cos 

 und 



y cos q> -j- sin sin q> yl — k 2 sin' 2 ,/- I 

 ü cos x -j- sin üj sin x \/\ — k 2 sin 2 q< ) 



(V 



dg> 

 Aq> 



dx 

 ~Jx~ 



(3) 



der gedachten Transformation zu Grunde zu legen. 



