Werden nun nach der Formel 



arc^ = -f ) - arc (», = -f ) = arc ('» = j /"| ) 



die beiden Bögen vereinigt, so ergibt sicli unter gleichzeitiger Berücksichtigung 

 dass — A<b sin q> sin £c = cos iL — cos cos x, nach einigen Reductionen 



i / ß sin <p sin iL sin x \ 



— a arc [tq — — ' 1 



\ 1 — 7 cos q cos iL cos x 1 



(10) 



wobei der Kürze wegen 



\/l -f Ä) (/* + £2) ' v/1 -f 1 + 



gesetzt sind. 



Schreibt man endlich iL = oj, x = iL so folgt 

 i7(Ä, Ä, w) = k, <p) -f i7(Ä, Ä, ?>) 



f /. /? sin <p sm iL sin o> \) ri 4 ^ 



a <Jarc 1 tg — — — \ ■ : ) \ . . . (U) 



cos o) = cos 9» cos iL — sin q> sin iL yl — k 2 sin 2 w (12) 



In den Formeln (11) und (12) ist somit wieder das Additionstheorem für 

 die elliptischen Integrale der dritten Art enthalten. 



Lässt man — q> an Stelle von q> treten, so wird 



n(h, k, o)) = n(h, k, iL) — u(h, k, v) 



f / ß sin q> sin iL sin w \ ) 

 -f a -{arc (fo = — ; ) > . . . (13) 



[ \ 1 — 7 COS q> COS iL COS 0) / J 



COS = COS 9) COS iL -j~ s ^ n 9 sm ^ V ^ — ^ 2 s ^ r2 w (1^=) 



worin die Bedingungen für die Subtraction der elliptischen Integrale der dritten 

 Art enthalten sind. 



Macht q> = <l und bestimmt w == ?» 2 mittelst der Gleichung 

 tg \ o) =z tg q> A q>, 

 so erhält man für die Verdoppelung der elliptischen Integrale der dritten Art 



. . (15) 



ri{h, k, ,,) = 2Ulh, k^i- a arc (tg = 



u ' \ * 1 — 7 cos 2 q> cos g> 2 / 



Wird aus der Gleichung (15) ri(h, k, g>) bestimmt und für q> aus der 

 Gleichung 



1 — 2 sin' 2 q> 4- k 2 sin 4 q> 



COS q>. 2 = -. — —-. 



1 1 — k- Sin 4 q> 



der sich ergebende Werth eingesetzt, so ergibt sich die Formel für die Zwei- 

 fheilung der elliptischen Integrale der dritten Art. 



