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Gibt man den Gleichungen (2) und (3) die folgenden Formen 

 i 11 (h, h, di) = — -i- F (k, *) + 1 + h IJ(k, k, <,) 



m =4- 1 *'* (f.4 -f)> 



so folgt daraus, dass ein elliptisches Integral der dritten Art, welches in imaginärer 

 Gestalt erscheint, durch ein in reeller Form erscheinendes Integral der ersten 

 und dritten Art ausgedrückt werden kann. 



Weitere Transformation der elliptischen Integrale aller drei Arten. 



A. Elliptisches Integral der ersten Art. 



Setzen wir in dem Integral 



F (ft, q>) — 



so entsteht 



und 

 folgt 



k sin «5 



d(f: 



A q> 



Aus den Gleichungen 







sin d> und q> == d, x + <p, 

 d<i> 



COS di 



4- 



(1) 



tg j, 



COS di == 



n sin g> = sm ^ 

 sin <jr> = sin d> 1 cos 4^ cos di 1 sin tp, 

 sin iLi . & sin d 



' sm 0; = 



1 -f- k cos il»! •> j/i _j_ p rp 2 k cos ^, 



1 ~ /t COS d> 



\/\ -f &' 2 i= 2k cos 

 Wird nun d> durch tp-j ausgedrückt und behält man das untere Zeichen 

 bei, so folgt 



d d> 



\/i — K 1 sin' 2 q> 

 Setzt man ferner d> l =, 2 w, so ist 

 <7g> 2 



1-fÄ 



y/l -f h 1 -f 2Ä cos ifc, 

 2 



sm ^ 



k sin 2 



4Ä 



(1 + 



yl -\- k' 2 2 k cos 2 

 sin 2 oj 



->tg v — 



1 -f Ä 



sin 2 



(2) 



& -j- cos 2 o) 



(3) 



V/l -f /c' 2 -f 2k cos 2 

 ein Ausdruck, der bekanntlich der Landen'schen Substitution zu Grunde liegt. 



