94 



Zu demselben Resultate gelangt man aber auch, wenn das obere Zeichen 

 in der Gleichung q> ==. o,, 4-. j, beibehalten wird; denn es ist 



dq> 

 A q> 



d ^, 



V 1 -j- k 2 — 2 h cos ^ 



Macht man hier 0/j = n -\- 2w, so folgt 



dq> 



sm i£< 



1 + Ä 



4& 



(1 + *)« 

 Ä sin 2ip 



sin 2 



V/l -f P -f 2& cos 2o> 



aus der letzteren Gleichung ist ersichtlich, dass von den zwei für q> erhaltenen 

 Werthen immer der negative zu nehmen ist. 



Nach diesen Bemerkungen kann man setzen 



dq> 



2 



0) 



do) 



2 



« 



d(o 



A q> 







t 

 ( 



\/l — k{ 2 sin 2 « 



) 



1 -}- & 







A o) 



oder 







F(k u «) 





(4) 



(5) 



wobei der Werth für w aus der Gleichung 



tg q> — 



sin 2 



oder 



zu berechnen und ß 



k -f- cos 2 w 

 sin (2o) — q>) = k sin <p 

 2 ^ 



(6) 



zu setzen ist. 



n 1 + k 



Eine Untersuchung der die Werthe von k t und w darstellenden Gleichungen 

 zeigt, dass m g> und kj ^> & ist. In den Gleichungen (4) — (6) ist daher die 

 Reduction eines elliptischen Integrals der ersten Art auf ein anderes derselben 

 Art mit grösserem Modulus und kleinerer Amplitude ausgesprochen. 



Schreiben wir die Gleichung (5) in umgekehrter Ordnung an, 



1 -f 



F(k l o)) 



F(k, 



(7) 



so ist darin die Reduction eines elliptischen Integrals der ersten Art auf ein 

 anderes derselben Art mit kleinerem Modulus und grösserer Amplitude, aus- 

 gesprochen; dabei sind q> und k aus w und k x zu berechnen. 



ß. Elliptisches Integral der zweiten Art. 



Die Substitution k sin q> = sin ^ und q> — o,, ^ <p bei den elliptischen 

 Integralen der zweiten Art angewendet, liefert 



