9ö 



(hf A f(> 



cos & d <jj 



[1 -j- Ii COS J;,] f/^| 



-4- sin ^ = -l-^sin ip -f- s — & 2 ) 



Jj_ | f ^ \A -j- & 2 -|- 2 Ä cos <p 1 

 J 



\/l + Ä 2 2Ä COS ti/, 



yl -f- &' 2 -f- 2 k cos (p, 



Setzen wir wieder ^ = 2 « oder <p t — 7t -\- 2 o>, so wird 



(f O) 0) 



dq> A 



k sin q> -}- (1 — k) 



+ (1 + 







oder 







g>) = — k sin 9> -f (1 — k) F(k\ «) -|- (1 -f w) 



und wegen F (k\ <w ) = 



F(ß, <p) auch: 



| k 2 ) F(k, q>~) =: k sin y -J- <p) — (1 -f «) 



(2) 



(3) 



(4) 



d. h. jede elliptische Function der ersten Art lässt sich durch einen algebraischen 

 Ausdruck und zwei elliptische Integrale der zweiten Art ausdrücken. 



C. Elliptisches Integral der dritten Art. 



Auch bei den elliptischen Integralen der dritten Art lässt sich die Sub- 

 stitution k sin q> = sin ip und q> = ipj — <l in Anwendung bringen. Wir 

 erhalten 



dq> 



FI(h, k, <p,) 



1+Ä 



[1 -{- h sin' 2 q>] A q> 

 ) 



1 -f Ä 2 + 2 k cos 2o) 



do) 



1 + k 



1 -f & 2 _[_ /i _j_ 2 k cos 2w — cod 2 2w y/f 



i 



(1 _|_ k)2 — 4:k sin 2 « < 



(1 + *)* + 4(A 



4 h 



A o) 



(1) 



(2) 



Wird der rational gebrochene Theil rechter Hand vom Gleichheitszeichen 



in zwei Ausdrücke von der Form: 



Reductionen 



n -j- o sin 2 o; 



zerlegt, so folgt nach einigen 



