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<lq> 



[1 -j- h sin* 2 q>] A q> 



1-f Ä 



[1 s t sin' 2 oj] A 



+ 



[1 -f- ^ sin' 2 w] 



(3) 



(4) 



oder 



i7(Ä, <p) = -f ?1 170,, &„ w) | 



d. h. ein elliptisches Integral der dritten Art lässt sich durch zwei Integrale 

 derselben Art mit ungleichen Parametern grösseren Modulis und kleineren Am- 

 plituden ausdrücken. 



Für die Constanten r v s v und 6 X liefert die Rechnung die folgenden 

 Werthe 



h -f- k 



V/(l + ä) (Ä + fr 



V/(l + Ä) (Ä + fr 2 ) 



2) ) 5 



) 



<v 



^ — -f- y^ci H- h ) ( h + k ' 2 ) 

 (i + fr) 2 



h — — -f ft) (fe -f fr 2 ) 

 (1 + fr) 2 



Eine Untersuchung dieser Werthe zeigt, dass die eben angeführte Trans- 

 formation für alle Werthe von h, mit Ausnahme der drei Falle: 



1) h = —n und fr 2 < w < 1 , 2) h = — fr 2 und 3) h = — 1 

 ausführbar ist. 



Im ersten Falle werden die Werthe der Constanten imaginär, im zweiten 

 und dritten Falle erhält man beziehungsweise 



n {h = — fr 2 ) == 



n(h = — i) 



2Ä 



l-f k 



sin 2 w J i 



sm z w 



In dem Falle h = — n, fr 2 <^ n <^ 1 lässt sich das gegebene Integral 

 von einem anderen, dessen Parameter positiv wird, abhängig machen. Es ist 



cos x 



für sin q> — 



A x 



Fl (Ä, k, g>) = 



+ 



wie schon oben entwickelt worden. 



fr 2 



& -J- fr 2 



e?<jP 







(1 - fr 2 ) 



(14. h) (h -f fr 2 ) 



[1 — h ' — =— sm 2 i,] 



1 -f /» 



