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Um zu entscheiden, welches von den beiden Vorzeichen im Zähler des 

 Bruches zu nehmen ist, bemerken wir, dass für k = 1 die Gleichung (4) liefert: 



1 — sin'2 



sm* 5 tp 



cos 9 



1 -f sin^ 



oder sin 2 



-- cos 9 



1 -j- cos 9 



wonach sich die Wahl des Vorzeichens leicht ergibt. 

 Wird in der Gleichung 



4- 



V k' 2 (1 4- 



k 2 sin 2 9 



k 2 (1 -\- cos 9) 



für k sin 9 = sin X A 



gesetzt, so folgt : sin 9 



; führt man anstatt der Bezeichnung 



9,, 9, etc. jene 9,, tp 2 . . . . so wird: 



2 4 



sin l x = k sin 9, ; sin tp A 



cos 



sm 9m— 1 ; sm 9 m 



cos \ l 2 

 sin £ 9 m— 1 



COS k ^ 



(5) 



Die Gleichungen (3) und (5) bieten ein bequemes Mittel dar, um den 

 Werth des elliptischen Integrals der ersten Art mit jeder beliebigen Genauigkeit 

 zu erhalten. Wie immer auch der Werth des Modulus beschaffen sein mag, so 

 genügen 4 Transformationen vollkommen , um den Werth der vollständigen 

 elliptischen Function bis zur 7. Decimalstelle mit Sicherheit zu erhalten. 



B. Elliptisches Integral der zweiten Art. 



Unter der Voraussetzung, dass h sin 9 = sin ip und 9 sehr klein oder 

 k sehr nahe der Einheit liegt, wird auch 



9 



E (k, 9) 



cos \b dtp — 



[arc (sin = k sin 9)] dtp 



cos (k tp) dtp — ~r~ sin 9 

 k 







gesetzt werden können. 



Nun ist aber für hinlänglich grosse Werthe von m 

 E(k } 9) = Lim [2 m E(k, tp m ) — k 2 sin 2 9, sin 9 — 2 k 2 sin 2 9. 2 sin 9, — 



— 2 m— 1 k 2 sin 2 9m sin 9,1,-1] - . . . 



(1) 



