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= 2 m sin k <f in — k 2 j sin 2 9, sin 9 . . . 



2 m ~ 1 sin 2 9m sin <p m _i J .... (2) 



Zur Berechnung von tp ]} <p 2 etc. dienen die Gleichungen 



. , 7 . . sin 4 tp m — 1 



sm Am = k sm cp m — 1 ; sin 9m == 



cos 4 km 



Auch hier wird für alle Werthe von k und m = 4 der Werth der voll- 

 ständigen Function bis auf die 7. D ecimalstelle richtig erhalten. 



C. Elliptisches Integral der dritten Art. 



Die Substitution k sin 9 = sin d> liefert bei den elliptischen Integralen 

 der dritten Art 



[ l -\- h sin' 2 9] A 9 



[1 H ~ sin 2 ^ 1 cos b 



(1) 







Für sehr kleine Werthe von 9 oder solche von k, welche der Einheit sehr nahe 

 liegen, darf man setzen Ä9 = 9», wodurch die Gleichung (1) die folgende Form 

 annimmt 

 9 9 



-1 =i (2) 



[1 -J- h sin- 9] J 9 







L 



1 -j- -y— - sin' 2 k(p cos k 9 



Durch wiederholte Zweitheilung kann man jedes beliebige elliptische 

 Integral der dritten Art von einem solchen abhängig machen, dessen Amplitude 

 der oben gemachten Bedingung entspricht. Es wird für hinlänglich grosse 

 Werthe von m 



!l ß sin 2 9, sin 9 \ 

 arc \tg = — — I -{- . 

 \ J 1 — y cos 2 9 , cos 9 / 



, . ■ 1 / ß sin' 2 9m sin 9m— 1 \ 1 

 + 2 m ~ 1 arc { t g = — — ■ ±- ~ \ 



1 V 1 — Y C S <fm COS 9m- 1 / J 



tpm 



dtp 



J -j- sin' 2 /^J cos k 9 



( / ß sin 2 9 sin <p \ 



— a \ arc t g = 5 I -4- .... . 



[ \ ° 1 — y cos 9i cos ^' 



4- 2 m 1 arc \tg = - J > (o; 



1 \ 3 1 — Y <-'°S 2 g>m COS qpm— 1/ J 



