103 



Mittelst der Gleichungen (1) und (2) kann der Werth der Function mit 

 jeder gewünschten Genauigkeit für jeden Werth des Modulus und der Amplitude 

 berechnet werden. 



n. 



Die Gleichung F (k, q>) = — ^ - F(h t , <r,) liefert durch wiederholte 

 Anwendung der Substitution 



sin 2 q 



tg y, 



k 1 -J- cos 2 <JP 



oder der gleichbedeutenden tg (y 1 — y) = cos ). t g <r und sin ). m =-. tg' 2 \ ). m —\ 

 die Gleichunsr 



Bei unendlich wachsendem m wird /cm = 



<?'m 



und 



dq> 



und somit 



F (k, <p) = A (p m . . , (?.) 



die letzte Gleichung mit den beiden dazu gehörigen : 



sin l m = tg 2 l Am— l und tg (g> m — 9m— l) '= cos Ä m — l ... (4) 



kann ebenso wie die Gleichungen (1) und (2) zur Berechnung der Werthe der 

 Function F(ky) für alle Werthe von q> und k benützt werden. 



Doch ist es zweckmässig, die Formeln (1) und (2) für k~ > \ ^ die Glei- 

 chungen (3) und (4) dagegen für k' 2 <^ l bei Berechnungen der Werthe von 



F k, q<) zu benützen. 



B. Elliptisches Integral der zweiten Art. 



I. 



Die zur Werthermittlung der elliptischen Integrale der zweiten Art dienenden 

 Gleichungen lassen sich sowohl aus der Gleichung 



Ei% q) = i- sin <p + (1 — k) F(k v <p,) -f (1 -f k) E(k v 

 fi 



als auch aus den folo-enden 



b 2 

 G (/;, q>) = — sin <*> -f- j-p G, <p,) 



und G (Ä, <p) = 1 y — | h — sin <j>, -j- G, (&, <r,> J 



pntwickoln. 



♦ • (1) 



