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bringen. Das letztere Integral lässt nun alle oben angeführten Transformationen 

 zu, wenn man berücksichtigt, dass 



(9) 



* = arc ( l 9 = -J- s in *)' = -y~ 1 l 9 ^ "f" + * ' 



denn für i ii = /« und e (2^j — — # übergeht die Gleichung 

 sin (2d-, — 0/) = b sin ^ 



in 



e 2x 1 e 2,« 1 



= h - (10) 



ex 



Macht man nun, um die logarithmische Berechnung von ^, möglich zu 

 machen 



e x = cotg et und = cotg /3, 



so ist 



~ „ 1°£ c °tg « 



cotg 2 a = 6 cotg 2 ß ; x — — 2_ 5 



xog e 



woraus x, und dadurch auch ^, berechnet werden können. 



Auch hier sind die Transformationen an Bedingungen geknüpft. Man 

 findet leicht, dass die Transformation unmöglich wird für 



h = — k 2 ; h = 1; h == — n, wenn k 2 ^> n <^ 1 ist. 



Die Umwandlung des Integrals in den beiden ersten Fällen ist bereits 

 oben gezeigt worden. 



In dem letzteren Falle lässt sich das gegebene Integral von einem anderen 



mit dem Parameter n = abhängig machen. 



Ist na'mlich 



P = 



tg g>; a = (1 + h) (l + -£) 



so ist 



(11) 



dp = f 1 , 1 1 \ 



1 _j_ « p 2 I l ±A S i n 2 q> ' . , k 2 I Jcp 



h 



und wenn die Integration ausgeführt wird 



n(h, k, v) = ~ n , ä, vj + f(ä, «p) 



+ 7s«(«f-^--!fr-)- •••••• ■(») 



k 2 



Da nun A <^ k 2 ist, so wird 1, und somit die Möglichkeit der 



weiteren Transformation herbeigeführt. 



Hat man durch wiederholte Transformation den Werth des Modulus so 

 weit geändert, dass b„ — 1 gesetzt werden kann, so lassen sich durch Substitution 



i sin (p n = tg di 



