2 S. LIE. UNTERSUCHTTXGEN UBEE DIEFERENTIAEGLEICHTJNGEN. III. 



Durch Verkniipfung von raeinen TJntersuchungen uber Transfor- 

 mationsgruppen mit einer von Halphen soeben pnblicirten schonen 

 Theorie 1 der linearen Differentialgleichungen erhålt man u. A. eine 

 vollståndige Iutegrationstheorie solcher Gleichungen 



f {x yy'... yW) = (n > 2) 



die sien durch eine zweckmassige Punkttransformation 



(1) z=X(x 1 y l ) y=Y(z iyi ) 

 oder Beriihrungstransformation 



(2) X = X {x i y x p t % y^Yfa y x <//), y' = Z (æ, y x y,') 



in eine liueare Gleichung iiberfiihren lassen, die entweder rationales 

 Integral oder auch doppelperiodische Coefficienten und eindeutiges 

 Integral besitzen. 



Ist eine Gleichung reductibel durch eine Transformation (1) auf 

 die Form y" = 0, so verlangt ihre Integration nach mir die Erle- 

 digung einer linearen Gleichung 3. 0. Wenn andererseits eine Gleich- 

 ung f(3 , yy'y"y'") = durch eine zweckmassige Beriihrungstransforma- 

 tion die Form y'" = erhalten kann, so verlangt ihre Integration 

 die Erledigung einer interessanten linearen Gleichung 4. 0. 



Die Bestimmung der infinitesimalen Transformationen einer 

 auf die liueare Form 



(3) yW+ X u _ 1 ^-D + ...+ Xy = 



reductiblen Gleichung verlangt im Allgemeinen nur die Integration 

 einer linearen Gleichung 



y<* + X a _ x' 1 ) y, t» - ij + . . . XV y x =0 



die durch eine zweckmassige Transformation 



x=X(x x ) y = y 1 X,(a? 1 ) 



genau die Form (3) erhalten kann. 



1 Mémoire sur la rdduction des équations différentielles linéaires aux formes inté- 

 grables. (Mémoires presentes par divers savans 1883). 



