4 S. LIE. ITEBER UNENDLICHE CONTINTTIRLICHE GRUPPEN. 



p, q, xq, yq, xp, yp, x l p + xyq, xyp + y\ 

 gewåhlt werden kunnen. Anderseits sind die Relationeu 



^=0,^ = ^ = 0.^ = 

 dy dx 3 ' dx dy 3 



die Definitionsgleichungen der endlichen Gruppe 



_ Ax-\-B Ey + F 



Xl ~ Cx+D' Vx ~ Qtj + H 

 mit sechs wesentlichen Parametern. und den sechs infinitesiinalen 

 Transformationen p, xp, x 2 p, q, yq, y-q. 

 Sind m vorgelegte Gleichungen 



(2) ^ + + + | + .,. = 



(i = 1. 2 .'. . m) 



die Definitionsgleichungen einer bestimmten endlichen Gruppe, so 

 erfiillen sie nacli meinen friiheren Untersuchungen die beiden fol- 

 genden Forderungen. 



A) Sind £ r] und XY zwei beliebige Paar von zusammenhoren- 

 den Losungen der Gleichungen (2), so ist auch 



dx ^ dy dx dy' ' dx 1 dy dx dy 



ein solches Paar von zusammenhorenden Losungen. 1 



B) Das allgeraeinste Paar von zusammenhorenden Losungen 

 besitzt die Form 



g = £j -f- C 2 t 2 -j- • • • ~\~ Gi Si 

 '/ = c i r n + c * ',2 + • • • + c * 7r 



wo r eine endliche Zahl, c, . . . c r arbitrare Constanten; ^ . . i' r . . tø. 

 gegebene Funktionen von xy bezeichnen. 



Ich habe anderseits auch gezeigt, dass jedes System Gleichun- 

 gen von der Form (2), welche die beiden Forderungen A und B 

 erfiillen. die Definitionsgleichungen einer endlichen Gruppe darstellen. 



2. Man kann sich nun die fundamentale Frage steilen, ob es 

 Gleichungen der Form (2) giebt, welche nur die Forderung A. und 

 nicht gleichzeitig die Forderung B erfiillen. Es ist leicht zu er- 



1 Der Satz (A) ist ein andcrer Ausdruck der Relation (1). 



