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S. LIE. UEBER UNENDLICHE CONTINUIRLICHE GRUPPEN. 



eben diejenigen infinitesmalen Transfoi mationen der Cartesischeu 

 Ebene xy liefert, bei denen alle Flåchenraiime invariant bleibeu. 

 Die Gleichung (3) ist somit die Definitionsgleichung der unendli- 

 chen Gruppe, deren Transformationen alle Flåchenraiime einer 

 Ebene invariant lassen. 



Im Folyenden suche und bestimme ich zunachst alle Gleiehungs- 

 Systeme von der Form (2), ivelche die Forderuny A, nicht aber die 

 Forderung B erf ullen. Es ergiebt sicb gleichzeitig. dass alle der- 

 artigen Gleichungen die Definitionsgleiehungen einer unendlichen 

 Gruppe sind. Endlich zum Scbluss beweise ich. dass hiermit alle 

 unendlichen Gruppen von Transformationen zwischen x und y ge- 

 fuuden sind. Alle diese Gruppen sind Untergruppen der unend- 

 lichen Gruppe 



• x =F{xy). yi =^(ory). 



Zerlegung des Hiilfproblems. Infinitesimale Trausforiuatiouen 

 verschiedener Ordnung. 



3. Ist ip -f- t t q eine infinitesimale Transformation einer Gruppe, 

 so sind ; und / ; analytische Fuuktionen von x und y, sie konnen 

 daher als Potenzreihen 



£ — r <o + a \ ( x — - r o) + h i (y - </o) + «2 — Bo)* + ■ • ■ 



»? = «o + a i (* — - r; o) + Pi (y — y ) + a s (* — x oY + • - ■ 



dargestellt werden. Ist dabei a und % nicht alle beide gleich Null, 

 so ist. sage ich. die Transformation ;> -f- yq von nullter Ordnung 

 in der Umgebung von x y . Ist dagegen a o = a =0. wåhrend 

 jedenfalls eine unter den Grossen a, b x a, ^ nicht verschwindet. so 

 ist die Transformation |p + >jq von ersfer Ordnung in der Umgeb- 

 ung von x y . Dementsprechend kann ich fiber infinitesimale Trans- 

 formationen von n ter Ordnuny in der Umgebung von x y sprecheu. 



Nimmt man drei inf. Transformationen B x /', B 2 f, B 3 f, deren 

 jede in der Umgebung von x Q y von nullter Ordnuug ist. so giebt 

 es immer jedenfalls eine Transformation der Form c, B l -f c, B. 2 -f- c t B t 



