8 S. LIE. UEBER UNE NDLICHE CONTINUIRLICHE GRUPPEN. 



zu erfiillen. Substituiren wir diese Werthe in (4) und setzen dar- 

 nach x — x y = y , so kommt die Relation 



(A) Ca, +D\ + Ea, + = 



die uns lehrt, dass es nur drei unabhångige infinitesimale Trans- 

 formationen erster Ordnung giebt, welche die Gleichung (4) erfiillen. 



Sei jetzt vorgelegt eine lineare und partielle Differentialgleich- 

 nng n ter Ordnung 



^ + ^ + ... + xg = o. 



Versuchen wir dieselbe durch Ausdriicke n ter Ordnung 



i = a„ (x — x ) n + b n (x — æ Q ) n ~ 1 (y — y ) -+-... 



t] = a n (x — x )« + p n ( . . . .) (....) + ... 



zu erfiillen, so erhalten wir eine Relation zwischen den 2n 4- 2 

 Grossen a D b n . . . a„ ji n . . .; es giebt daher nur 2n + 1 unabhångige 

 inf. Transformationen w tM Ordnung, welche unsere lineare partielle 

 Difterentialgleichung n teI Ordnung erfiillen u. s. w. 



Aus den obeustehenden Entwickelungen ziehen wir sogleich 

 einen fundamentalen Schluss. Sei in der That vorgelegt ein Sy- 

 stem Gleichungen 



(5) A i £ + B i r J +Ci^-<-... = 0, 



welche die Forderung A erfiillen; dann låsst sich zeigeu, dass es 

 jedenfalls eine Gleichung dieses Systems giebt, die von nullter, er- 

 ster oder zweiter Ordnung ist. Wåre nåmlich dies nicht der Fall, 

 so wurde unser Gleichungs-System befriedigt 1 von zwei unabhån- 

 gigen Transformationen null ter Ordnung 



P + y>, 2+..-. 



von vier uuabhangigen Transformationen erster Ordnung 



(v — %o)P + •••,(«/ — %)P + ■ (* — * ) <? + •••> (y — Vo) Q. + • ■ ■ 



1 lm Textc wird iramer vorausgesetzt, dass unser Gleichungs-System unbeschrankt 

 integrabel ist, dass sich also aus ihra keine neue Gleichungen (nullter erster oder 

 zweiter Ordnung) durch Different iation herleiten lassen. 



