26 S. LIE. UEBER UNENDLICHE C0NTINLIRLICI1E GRUPPEN. 



Hieraus liisst sich mit Berucksichtigung von meinen Untersuchungen 

 iiber endliche Transformationsgruppen einer einfach-ansg edehnten 

 Mannigfaltigkeit den folgenden fimdamentalen Schluss ziehen. Ent- 

 weder ist X (.r) eine arbitråre Funktion von x oder auch enthålt 

 X hochstens drei Parameter imd besitzt dabei eine imter den vier 

 Formen 



Es giebt daber fiinf Falle, die wir jetzt successiv discuttiren wer- 

 den; gleichzeitig bestimmen wir alle moglichen Formen der betref- 

 fenden Gleichiings-S3'steme. 



16. Ist X— 0. so besitzen die betreffenden mfinitesimalen 

 Transformationen die Form 



f \xy) a 



Sind fi ond f., zwei entsprechende Werthe von /. so ist aucb 



f Jf* _ r (] fi 

 ' 1 dy ' ] - dy 



ein solcber Wertk. Jetzt sind wiederum eine Ueibe Unterfålle 

 denkbar. jenacbdem es moglich oder immoglick ist. eine solcbe 

 ganze imd endliche Zahl r auzngeben. dass zwischen r + 1 beliebi- 

 gen Wertben von / immer eine lineare P.elation der Form 



9o(&) fo + ? i 0») fx + <?M £ + .•■• + 9r( '0 fv = 

 bestebt. Ist es moglich eine solcbe Zahl r anzugeben. so kann 

 diese Zahl nicbt grosser als drei sein; denn unter miserer Vorans- 

 setzimg bilden die Transformationen fq eine endliche Transforma- 

 tionsgrnppe einer einfach ausgedebnten Mannigfaltigkeit nåmlicb 

 eine Gruppe von Transformationen der Variable y. 



Unser Fall X = zerfallt somit in vier Unterfålle. indem die 

 Zahl /■ die vier Werthe 1, 2, 3. oo baben kann. Indem wir jetzt 

 diese Unterfålle der Reike nach betracbten. erinnern wir dass jede 

 endliche Gruppe der Variable y mit einer lineargebrocbenen oder 

 linearen Gruppe dieser Variable aebnlicb ist. 



