32 S. LIE. UEBER UNENDLKHK COSTIXUIRLICHE GrRUHEEN. 



iu allgemeinster Weise befriedigt durch 



f=il(x)e-*y+ W (x). 



Fiihren wir hier die Grbsse //, = c Sy als neues y ein, so erhålt / 

 die Fonn 



X l (x) ?/, + X 2 , 



sodass die Annahme, dass /' eine Gleichung zweiter < Irdnung erfidlt. 

 uns nichts Neues liefert. — Giebt es keine Definitionsgleichung zwei- 

 ter Ordnung, sondern dagegen eine oder mebrere von dritter Ord- 

 nung. so giebt es zwei unabhangige inf. Transformationen erster 

 Ordnung 



-7 + ..., yq + ... 

 drei unabhangige Transformationen zweiter Ordnung 



x 2 q + . . . , xyq + . . ., y 2 q + . . . 

 Gråbe es nun eine inf. Transformation dritter Ordnung der Form 



(a x 3 -+- bx l y + cxy 2 + y % ) q + • • • 



so erbielte man durch mehrmalige Anwendung von x q vier 

 unabhangige inf. Transformationen dritter Ordnung, was mit der 

 Annahme einer Definitionsgleichung dritter Ordnung im Wider- 

 spruche stande. Also haben alle Transformationen 3. 0. die Form 



(a x 3 + 6 x % y + c xy 2 ) + . . . 



und folglich giebt es eine Definitionsgleichung der Form 



f" + Xi f" + x 2 U + X, /xx + x, f + X 5 fx = o. 



Hier substituiren wir, indem wir zwei beliebige Losungen f, 9 von 

 unseren sammtlichen Definitionsgleichungen wåhlen, stått /' die 

 Grosse /'cp' — f 9. Dies giebt die Eelation 



/><*) + 2 f 9"' — f& 9 + 2 f" 9' + X, (fy'" + f 9"— f "9 - f"o') 



+ X„ (f cp x " + /x 9" - /"x" 9 - f" 9x) + 



+ X; (/> xx ' + 2f x 9x' + /xx 9' - ?xx - 2/x' 9x - /xx' 9) 



+ X 4 (/ 9" - r 9) + X, (f 9'x + /x 9' - f 9x - /x' <p) = 



und nach Elimination der Differentialquotienten vierter Ordnung 



