CHRISTIANIA VIDENSK.-SELSK. FORHANDL. 1 883. No. 12. 33 



2/' 9"' - 2f"< 9' + X, (f 9" - f <P0 + X, (/x 9" " f 9x) 

 + X 3 (2/ x 9x' + /xx 9' - /' 9xx - 2/x' 9x) + X 5 (/ x 9' - /' 9x ) = 



und endlich nach Elimination der Ditferentialquotienteu dritter Ord- 

 nung : 



f" (X, 9' — X 2 9 x) + /x' (- 2X 3 9x + 2X 2 9') + / sx . 3X 3 9' 



-1- f (- X, 9" - 2X 2 9x ' — 3X 3 9xx - 3X 5 9x) 



+ /x (X 2 9" + 2X 3 9 x' + 3X 5 9') = . 



Diese Relation sull aun identisch besteben, da fund 9 keine Gleicb- 

 ung zweiter Ordnung erftillen dtirfen, und also ist 



X.-O, X 2 =0, X 3 =0, X 5 =0, 



so dass unsere Defmitionsgleicbung dritter Ordnung die Form 



/'"' _ Xf = 



besitzen muss. Der entsprechender Werth von fq 



( Q t (x) VX + V, (x) e- ^ VX + V, (x)) q 

 erbålt durcb die Substitution 



y Vx 

 Vy — # 



die Form 



(W 2 (x)y t *+ W, (x) !fi + W tx))q, 



die wir scbon friiber erledigt baben. Die Annahme, dass es eine 

 oder mehrere Definitionsgleicbungen dritter Ordnung giebt, liefert 

 daber aucb nicbts Neues. — Es bleibt iibrig der Fall, dass såmmt- 

 licbe Definitionsgleicbungen von vierter oder boberer Ordnung sind. 

 Alsdann giebt es zwei unabbangige inf. Transformationen von erster 

 Ordnung 



xq + ..., yq + ..., 

 drei von zweiter Ordnung 



a? a 2 + ..., xyq + .. ., fq + ... 

 und vier von dritter Ordnung 



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