38 S. LIE. TTEBER UNENDLICHE CONTINTJIRLICHE GRUPPEN. 



erfiillt immer unsere Forderung A. Diese inf. Transformationen 

 erzeugen die uneudliche Gruppe 



(XII) y x = F {xy), Xl =x + a. 



18. Jetzt suchen wir unter alleii Schaaren von inf. Transfor- 

 mationen X(x)p +f{xy)q, die unsere Fordenmg A erfullen, die- 

 jenigen, deren allgemeinster x zwei Parameter enthålt und somit 

 die Form c 1 X l + c 2 X 2 besitzt. Dabei konnen wir ohne Beschrånk- 

 ung annéhmen, dass X die Form 



Const. x -f- Const. 



besitzt. Wir finden die allgemeine Erledigung dieser Aufgabe, in- 

 dem wir successiv jede Schaar der letzten Nummer betrachten, 

 und in allgemeinster Weise eine solche Transformation xp -f- f\xy) q 

 hinzufiigen, dass die bervorgehende Schaar unsere Forderung A 

 erfiillt, 



Soll die Schaar 



t (x) q, p, xp 4- 9 &y)q 



unsere Forderung A erfullen, so mussen die beiden Ditte ren tialquo- 

 tienten von 9 hinsichtlich x und y uur von x abhången und also 



9 — cy + x 



sein; wobei X ohne Bescbrånkung weggelassen werden kann. 

 Die infinitesimalen Transformationen 



f(x)q, p, xp + cyq 



erzeugen die unendlicbe Gruppe 



(XIII) x x = olx -f P , //, = y a c + F (x) 



mit einer arbitråren Funktion F (x) und zwei arbitråren Paranie- 

 tern a, (J. 



Soll die Schaar 



f («0 q, /, (x) yq, p, xp + 9 (xy) q 

 unsere Forderung A erfullen, so muss 9 die Form £ (x) -\- $ v (x) y 



