2 SOPHUS LIE. OM ALGEBRAISKE DIFFEREXTIALLIGNINGER. 



I. 



Lad mig foreløbig indskrænke mig til sædvanlige algebraiske 

 Differentialligninger mellem x og y. 



y w + f(xyy' ....y (n - t} ) = 0. 



Enhver infinitesimal Berøringstransformation 1 



dW s w ,d W s , d W ,dW 



hx — -5 — , - . hy = W — y -j . , o y' = - 7 — + w' — 



dy J J dy 1 ' J dx J dy 



der overfører vor Differentialligning i sig selv, bestemmes ved et 

 System partielle Differentialligninger mellem den ubekjendte Funk- 

 tion W og de uafhængige Variable x y y'. Disse simultane Lig- 

 ningers Integration kan, da W maa have Formen 



W= Cl W t +c t W i +....+c a W a , 



hvor c'erne ere arbitrære Constanter og m et endeligt helt Tal, 

 tilbageføres til Integrationen af en Hjælpeligning 



^+F._ 1 ^ + ...+ 7*+ F—O, 



dv m dv m ~ x ' dv 



der er linear, og hvis Coefficienter V k ere algebraiske Funktioner 

 af den uafhængige Variable v. Denne Hjælpeligning skal nu altid 

 kunne integreres efter Poincarés oven omtalte Sætning. 



Derfor er det altid muligt at bestemme de infinitesimale Berø- 

 ring str ans f or mat ion er, der overføre en algebraisk Differentialligning 

 mellem to Variable x og y i sig selv. 



Tænker man sig i det Foregaaende, at f er en rational Funk- 

 tion af x y yf . . . . y (n 5 saa er Hjælpeligningens Coefficienter 

 V k rationale Funktioner af v. 



Man finder derfor de infinitesimale Berøringstransformationer, 

 der overføre i sig selv en algebraisk Differentialligning y = f, hvis 

 høire Led er en rational Funktion af x y y' . . . y [ "~ l) ved Integra- 

 tion efter Boincarés Methode af en linear Differentialligning med 

 rationale Coefficienter. 



1 Math. Ann. Bd. VIII, p. 239 -240. 



