Kurzes Resumé mehrerer neuer Theorien.' 



(Vorgelegt der Academie zu Christiania 3 Mai 1872.) 



Von Sophus Lie. 



In der Theorie partieller Gleichungen spielen Beruhrungs-Trans- 

 formationen eine fundamentale Kolle. Man muss die einfachsten 

 Formen ermitteln, welche eine gegebene Gleichung vermoge einer 

 solchen Umformung erhalten kann. Mit der Losung dieses Pro- 

 blemes haben sich viele Mathematiker beschaftigt, und doch scheint 

 dasselbe nirgendwo explicite formulirt worden zu sein. Diese Auf- 

 gabe subsumirt sich unter einem Probleme, welches Herr Klein in 

 einer bald erscheinenden Abhandlung aufstellen wird. 



1) Sollen n Gleichungen z = F (z x, x 2 . . x n _, pi . . p„_i) = o 

 Xi = F, ... x n _i = F n ._i eine Beriihrungs-Transformation eines Rau- 

 mes mit n Dimensionen bestimmen, so ist es nothwendig und hin- 

 reichend, dass zwischen zwei beliebigen F eine bekannte Differen- 

 tial-Relation stattfindet: (F 4 F k ) = o. Man findet ebenso leicht 

 unter welchen Bedingungen (n — 1) Gleichungen Xj == Fj zusammen 

 mit (n— 1) ånderen pj = Tl eine Benihrungs-Transfonnation defini- 

 ren. Die Relation (Fj F k ) = o låsst sicli immer als eine Orthogo- 

 aalitåts- oder Involutions-Beziehung auffassen; ich sage darum der 

 Kurze willen, dass dies*e Gleichungen in Involution liegen. 



2) Die Cauchysche Integrations-Methode partieller Gleichungen 

 T(z \j . . x„ L Pi • • p n i) = o enthalt implicite eine Erweiterung des 

 Lagrange-Mongeschen Begriffs Charakteristiken. Es scheinen meh- 

 rere bekannte Theorien eine iibersichtlichere Fonn dadurch er- 

 halten zu kunnen, dass diese Erweiterung explicite gemacht wird. 



1 Blødtaget til Videnakabs-Selikabet den 3Q April 1872. 



M. J. Monrad, Sekretær. 



