Zur Theorie der Differential-Probleme. 



Von 

 Sophus Lie. 



(Indleveret den 14de Novbr. 1872). 



Seit einiger Zeit ist es mir unmoglich gewesen, meine Unter- 

 suchungen ausfuhrlicher zu redigiren. Ich erlaube mich daher im 

 Folgenden ein kurzes Resume einiger Resultate zu geben, welche 

 mir bemerkenswerth scheinen. 



Die Mongésche Theorie der Charakteristiken kann auf belie- 

 bige partielle Gleichungen (Pfaffsche Probleme) ausgedehnt werden. 

 Zu diesem Zwecke scheint es mir nutzlich zuerst den Dupirfschen 

 Begriff Indicatrix zu verallgemeinern. 



Eine Classification partieller Gleichungen l.O. nach Eigen- 

 schaften, die bei allen Pwrøfø-Transformationen ungeåndert bleiben, 

 giebt sogleich eine Classification von Gleichungen beliebiger Ord- 

 nung nach Eigenschaften, die gegeniiber allen Beruhrungs-TramS' 

 formationen invariant bleiben *. 



Es ist mir gelungen meine Arbeiten iiber partielle Gleichungen 

 mit infinitesimalen Transformationen nach verschiedenen Seiten hin 

 zu erweitern, insbesondere auch auf das PfalFsche und simultane Sy- 

 steme gewohnlicher Gleichungen auszudehnen. Ich betrachte sowohl 

 permutable Transformationen, wie solche die eine Gruppe bilden. 

 Es gelingt entweder eine Zahl Integrale sogleich aufzustellen, oder 

 auch das Problem in einfachere zu zerlegen. Vereinfachungen 

 anderer Art treten ein, wenn gewisse Differential-Gleichungen sich 

 integriren lassen, welche in gewissem Sinne den betrelfenden Trans- 



1 Ich stelle die Fragcn: Existiren Transformationen von ])articllcn Gleichungen 

 hoherer Ordnung, die nicht Boruhrungs-Transformationen sind? Existiren Bcriih- 

 rungs-Transforinationen hOherer Art? 



