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die bei Beriihrungs-Transformationen 1 invariant bleiben. Es ist 

 klar, dass die Zahl der ausgezeichneten Funktionen eine solche 

 Eigenschaft ist. Bildet insbesondere (u x il 2 . . . u r ) ein Involutions- 

 System, so ist dasselbe der Fall mit jeder Gruppe, die aus der 

 vorgelegten durch eine Beruhrungs-Transformation hervorgeht. 

 Dieses letzte ist ja damit aeqvivalent, dass die Beziehung 



(iii u k ) = o 



eine bei Beriihrungs-Transformationen invariante ist. 



Wir crledigen in dieser Abhandlung die aussersi wichUge Auf- 

 gabe: alle Eigenschaften einer Gruppe zu finden, die bei Beruhr- 

 ungs- Trans formationen invariant bleiben, und welche dabei jeder 

 aeqvivalent en Gruppe øukommen. Es ist klar, dass die Anzalil der 

 Glieder und die Anzalil der ausgezeichneten Funktionen solche Ei- 

 genschaften sind; es ist ausserst merkwurdig, dass diese beiden Zahlen 

 die einzigen Eigenschaften der besprochenen Art sind. 



2. Der algebraische Ausgangspunkt fur meine Untersuchungen 

 war der folgende fundamentale Satz. 2 



Ist u 2 . . . u r eine Gruppe und V rine unb ekanate 

 Funktion von (x l x 2 . . x n pj . . p n ), so bildm die linear en 

 Gl eie h u ng en 



1 Sind die Variabeln z, x, . . x n und die partiellen Derivirten von z hinsichtlich 

 x, . . x n , die ich p, . . . p n nenne, in solcher Weise mit einein entsprechenden 

 Systeme z'x', . . x' n p', . . . p'n verbanden, dass eine jcdc Grosse der beiden 

 Rcihcn 



z x, . . . x n Pi . . . pn 



z'x', . . . x' n p', . . . p'n 



eine Funktion der Grossen der zweiten Reihe ist. so habe ich vorgeschlagen die 

 hierdurch derinirte Transformation eine Bcruhrungs -Transformation zu nonnen, 

 ln dieser Abhandlung stelle ich ehnedies die Forderung, dass jede GrOssc der 

 beiden Reihen 



X, . . . Xn p, . . . pn 

 x', . . . x'„ p\ • . . p'n 



sich durch Grossen der zweiten Reihe ausdriicken liisst 

 1 Bei einer ånderen Ge.logenheit werde ich auf die Mannigfultigkcits-Bctrachtungcn 

 eingehen, dit mich zn dieser Theorie gefuhrt haben Vorliulfig sei nur bemerkt, 

 dass ich damit anfing, «lic nioglichen Gruppii -ungen der charaktei istisehen Strcifen 

 zweier oder mehrerer (ileiehnngen F (x, ... pn ) ~ Conil N untersuehen. 



