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(u, V) = o , (il, V) = o . . . (u r V) = o 

 ein vollstandiges System im Clebscheschen Sinne. 1 



Es ist zunåchst klar, dass unsere lineare Gleichungen von ein- 

 andern unabhangig sind, denn sonst verschwånden, wie man sich 

 leicht liberzeugt, eine Reihe Funktional-Determinanten, und in Folge 

 dessen existirten eine oder mehrere Relationen zwischen Hg . . . u,, 

 aufgefasst als Funktionen von Xj x 2 . . . x n p A . . . p n ; dies steht aber 

 in Wiederspruch mit unseren Voraussetzungen. 



Schreiben wir nun Aj (V) stått (u ; V), so findet man durch Aus- 

 fiihrung 



^ A k -A k Ai = ((Ui u k )V). 3 

 Es ist aber (cfr. n. 1) 



(Ui u k ) = f ik (u 1 u 2 . . . u r ) 



und al so 



( fe u k ) V) = fe V) ^ + (u ! V,g+ (u r V) g 



oder 



A, A k - A k A «ig A, (V) + g A, (V) + . . . g A, (V) 



1 Stehen r lineare Gleichungen 



A, (V) = o , A 2 (V) = o . . . Ar ( V) = o 

 die von einander unabhångig sind, in solcher gegenseitigen Beziehung, dass im- 

 mer der bekannte Ausdruck Ai A k — A k Ai sich als lineare Funktion der A 

 ausdnicken låsst, so haben unsere Gleichungen , wie Clebsch bewiesen hat 

 (Crelles Journal Bd. 65), 2n — r gemeinsame Losungen. Ein solches System 

 nenne ich mit Clebsch ein vollstandiges System. Auf die Betrachtung solcher 

 Systeme grfindet er die Integration linearer partieller Differential-Gleichungen, 

 die eine gewisse Zahl gemeinsame Losungen besitzen. Die entsprechende Theorie 

 fur beliebige (nicht eben lineare) Gleichungen l. O. ist zuerst von Herm Mayer 

 gegeben, wobei doch zu bemerken ist, dass Mayer (wie auch Clebsch) seinen 

 Ausgangspunkt in einer Ide nimmt, die von Bour herrtihrt Bour hatte sich 

 bei der Ausfiihrung dieses Gedankens geirrt (Mayer, Math. Annalen Bd. IV). 



2 Dass die beiden Gleichungen 



(u, V) = o,(u 2 V) = o 



die folgende 



((u,u 2 )V) = o 



nach sich zieht, ist bekanntlich ein Beweis des Poisson-Jacobischen Theorems. 



