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das heisst: Aj A k — A k A, driickt sich als lineare Funktion von den 

 A aus, womit mein Satz bewiesen ist. 1 

 Das vollståndige System 



( Ul V) = o,(u 2 V) = o .... (u r V) = o 

 hat also 2n — r Losungen 



^1^2 .... V >„ _ r , 



zwischen denen keine Funktional-Relation stattfindet, und zugleich 

 wissen wir, dass jede andere gemeinsame Losung sich als Funktion 

 von Vj v 2 . . . v 2n _ r darstellen lasst. Nun sagt das Poisson-Jaco- 

 bische Theorem, dass wenn v ; und v k Losungen unseres vollstandi- 

 gen Systems sind, so ist auch (vj v k ) eine solche, und also gilt 

 immer eine Gleichung der Fonn 



(V i V k ) = <p ik (v 1 V 2 . . . V 2n _ r ) 



das heisst Vj v 2 . . . v 2 „_ r bilden eine neue Gruppe. 



Nach unserem friiher bewiesenen Satze ist also auch 



( Vl U) = o , (v 8 U) = o (v 2n _ r U) = o 



ein vollståndiges System mit 2n — (2n — r) = r Losungen. Nun 

 gentigen bekanntlich u x u 2 . . . u r unseren Gleichungen, deren sammt- 

 liche Losungen in Folge dessen der Gruppe (u x . . . u r ) gehoren. 



Eine j ed e Gruppe (iij Ug . . . u r ) bcstimmt eine zweite 

 Gruppe (v x v 2 ... V2„_ r ), die in ein em v oil si åndig M Keci~ 

 pr ocitcit s - Verhåltnisse su der er sten stekt. Jede 

 Gruppe besteht aus den FunJctionen, die mit allen 

 Funktionen der zweiten Gruppe in Involut i on Hegen. 

 Zwei solche Gruppen sollen r e ciprohe* Gruppen heis- 



1 Es ist einleuchtend, dass wenn (u, u 2 . . . u r ) und (u 1 , u' 2 . . . u' r ) zwci 

 aeqvivalente Gruppen sind, so sind auch die beiden geschlossenen Systeroe 



(u | V) = o , (u. V) = o . . . (u r V) = o 



und 



(u', V) = o,(u' 2 V) = o ( u ' r V) = o 



in dem Sinne aeqvivalent , dass die Losungen des einen Systems dem ånderen 

 gentigen. 



2 Gchen zwci rcciproke Gruppen (u, ... u r ) und (v, v 2 . . . V2n — r) durch eine 

 BerOhrungs-Transformation bcz. in (u', u' 2 . . . u' r ) und (v', v\ . . . v'2 n -r) 

 uber, so ist es klar, dass aueb diese neuen Gruppen in Reeiproeitats-Beziehung 

 stehen. 



