25 



Satz 3. Jede ausgezeichnete Funktion eimer Gruppe géhort 

 der reciproken Gruppe an. 



Denn ist U ausgezeiclmete Funktion der Gruppe (u x . . . u r ), 

 so geiten 



( Ul U) = o , (u 2 U) — o . . . (u r U) = o 

 es ist aber eben diese Gleichungen, die stattfinden mussen, wenn 

 U der reciproken Gruppe gehoren soll, und also ist unser Satz 

 bewiesen. 



Satz 4. Jede åusgezeichnete Funktion einer Gruppe ist aus- 

 geøeichnete Funktion in der reciproken Gruppe. 



Dieser Satz ist ein evidentes Corollar der beiden vorange- 

 henden. 



Satz 5. Enthålt eine Gruppe (Uj . . u r ) m åusgezeichnete Funk- 

 tion en \J t . . . Um, so geiten m Relationen zivischen den Funktionen 

 unser er Gruppe und denjenigen der reciproken Gruppe (y 1 ..V2„_ r ). 



Denn TJ l . . U m gehoren beiden Gruppen an, und drikken wir 

 also dieselben einmal als Funktionen der u, ein andermal als Funk- 

 tionen der v aus, und setzt diese Ausdriicke einandern paarweise 

 gleich, so findet man die besprochenen Relationen: 



Fi K • • • u r ) = 9i (v x v 2 . . . ) = U x (Xj . . . p, a ) 



f 2 ( . .;. ) = 92 (...) 



F. ( . . . ) = 9 - ( • • ) 

 Die Haupt-Ergebnisse dieser Nummer fasse ich folgenderweise 

 zusammen. 



Satz 6. Zivei reciproke Gruppen enthalten diesellen ausge- 

 zeichneten Funktionen; zivischen den Funktionen unser er Gruppen 

 finden soviele (niemals mehrere) Relationen stått, wie die Zahl der 

 ausgezeichneten Funktionen. 



4. Bei Untersuchungen iiber Gruppen spielen die ausge- 

 zeichneten Funktionen eine fundamentale Rolle, und ich werde 

 daner zeigen, wie man dieselben bestimmt, wenn die Gruppe gege- 

 ben ist. 



Sei u 2 . . . u r ) eine Gruppe und U eine Funktion von 



