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u t a, . . . u r . Soll U eine ausgezeichuete Funktion sein, so ist 

 dazn nothwendig nnd hinreichend, dass 



(u t U) = o , (ii2 U) = o . . . (u r U) = o 

 oder entwickelt: 



- - - - + (u, u 2 ) M + ( Ul u 3 ) d ^ + . . . (u, u,) f| = 



(■.".> £ - -- -- - +(»,«%)£+... («i »,)^— 



Setzt man hier iiberall stått (u; u k ) die entsprechende Funktion 

 f ik (i^ . . . u r ), so erhålt man r lineare partielle Differential-Gleicli- 

 ungen mit r unabhångigen Variabeln zur Besthnmung von U. Soll 

 also die Gruppe m ausgezeichriete Funktionen enthalten, so mussen 

 unsere r Gleichungen sich ersetzen lassen durch r — m Gleichun- 

 gen, die ein vollståndiges System bilden. Man kann bekanntlieh 

 immer entscheiden, ob eine solche Reduction moglich ist, und in 

 diesem Falle dieselbe ausfiihren. 1 Hinterher verlangt die Inte- 

 gration des vollståndiges Systems (hochstens) 2 die Operationen 3 

 m,m — 1 , m — 2,... 3,2,1. 



1 Soll eine solche Reduction moglich sein, so ist es offenbar nothwendig und hin- 

 reichend, dass eine gewisse schiefe Determinante mit r Reihen und Colonnen 

 verschwindet. Dies ist insbesondere immer der Fall, wenn r eine ungerade Zahl 

 ist, und also kennen wir schon eine ausgedehnte Categorie Gruppen, wclche 

 jedenfalls eine ausgezeichnete Funktion enthalten. Eine erschopfende Discussion 

 dieser Betrachtungim folgt in einer folgenden Nummer. 



' Die Integration eines totalen System, welches unbeschrftnckt integrabel ist, und 

 m Gleichungen enthjllt, verlangt nach meinen fruheren Thcorien immer die 

 Operationen m,m — 1 , . . . 3,2,1. Die Mayersche Theorie verlangt im All- 

 gemcincn wcniger Operationen. 



1 Ich sage zuweilen der Kurzc wegcn: «eine Operation m u , anstått: „dic Bestirn- 

 mung eines Integrals in ei Dem Systcmc bestehend aus m gewohnlich.cn Diffcren- 

 tial-Gleichungen. Die vollstRndigc Integration eines solchon Systems verlangt 

 in dieser Terminologis die /Operationen m , m — 1 , m — 2 , . . . 3,2,1. 



