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Satz 7. Es kutnt immcr o/fsdurdeH lecrden. inv cirlc ausge- 

 zeichnete Funktionen eine gegebene Gruppe enthålt. Gicbt es m 

 solche, so verlangt ihre Bestimmiuig die Opwathmen . m , m — 1? 

 m — 2, . . . . 3,2,1. 



Es ist klar, dass wenn eine Gruppe m ausgezeichnete Funk- 

 tionen enthålt, unter denen schon gefunden sind, so verlangt die 

 Bestimmung der iibrigen die Operationen m — , m — ^ — 1 , 

 m— fj. — 2 3,2,1. 



§ 3. 



Canonische Form einer Gruppe. 



5. In dieser Nummer beweisen wir einige einfache Hiilf-Såtze, 

 die bei den spåteren wichtigen Entwickelungen dieses Paragraphes 

 ntitzlich sein werden. 



Satz 1. Enthålt eine r - gliedrige Gruppe mehr als r — 2 

 ausgezeichnete Funktionen, so ist sie ein Involutions- System, und 

 besitzt also r ausgezeichnete Funktionen. 



Sei gegeben eine Gruppe (u x u 2 . . . u r ) mit (r — 1) bekann- 

 ten ausgezeichneten Funktionen U ; U 2 . . . U r _ , ; wir werden sehen, 

 dass unsere Gruppe nothwendigerweise noch eine solche Funktion 

 enthalten muss. Denn bringen wir (Uj u 2 . . . u r ) auf die aeqvi- 

 valente Form (\L U 2 . . . U r _ i V), so muss, weil XJ X ausgezeichnete 

 Funktion ist, insbesondere 



(U 1 V) = o 



terner weil U 2 ausgezeichnete Funktion ist 



(U 2 V) = o 



u. s. w. In dieser Weise sehen wir, dass 



(\] 1 Y)-=o,(\] 2 V) = o . . . (U r _, V) = o 

 das heisst, dass auch V ausgezeichnete Funktion ist; wir finden 

 also, dass eine r - gliedrige Gruppe mit r — 1 ausgezeichneten 

 Funktionen, noch eine solche Funktion enthålt, und also ein Invo- 

 lutions-System ist, womit meine Behauptung erwiesen ist. 



Satz 2. Ist u x heine ausgezeichnete Funktion der Gruppe 

 (u x U2 . . . u r ), so giebt es immer Funldioiu n F (i^ . . . u r ), die 



(u, F) = 1 



genugen. 



