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Weil nehmlich nach unserer Voraussetzung nicht alle Ausdriicke 

 (li, u,) (u t u 3 ) . . . (u t u r ) 

 verschwinden konnen, so ist aucli 



f Ul F) = (u t jU g + -..(% 



oder nach Einfiihrung von f ik (u t . . . u r ) stått (u;U k ) 



f dF _ f dF f dF 



^du, * 11 3 du, • Ilr du r 



von Null verschieden, solange noch F unbestimmt ist. In Folge 

 dessen ist 



fi2 f + 4t « + . . . fir f = i 



" du 2 lå du 3 ir du r 



eine partielle Differential-Gleichung, deren Losungen 



(u, F) = 1 



geniigen. 



Satz 3. Enthalt die Gruppe (u t u 2 . . . u r ) eine Untergruppe 

 (Uj u 2 . . . up), so ist die Polar-Gruppe der ersten in der Polar- 

 Gruppe der zweiten enthalt en. 



Die Glieder von (Uj . . u r )'s Polar-Gruppe sind definirt durch 



(A) (u t v) = o , (u 2 v) = o . . . (up v) = o . . . (u r v) = o. 

 Die Glieder der Polar-Gruppe von (i^ . . . up) geniigen 



(B) (u t V) = o , (u 2 V) = o . . . (up V) = o. 



Wir sehen somit, dass alle Funktionen, welche (A) geniigen, 

 zugleich (B) befriedigen, wåhrend das Umgekehrte nicht wahr ist, 

 und also ist mein Satz bewiesen. 



Satz 4. Ist 



(n, u 2 ) = 1 , 



SO hann eine jede Gruppe (u Å u 3 . . . . u r ) auf die Fon» 



Uj ^ VL\ U' 2 . . . ll' r _ > 



gébracht werden, wo 



(u, u'„) = o ; (a, u' h ) == o ; (u'j u' k ) = it (u\ u' 2 . . u' r _*). 



Beweis. Ist nemlich 



v, v 2 . . . . v 2n _ r 

 die Polar-Gruppe von (u, u 2 . . . u r ), so ist nach unserer Voraus- 

 setzung auch 



u l \i 2 \ l \ 2 . . . v 2n _ r 

 eine Gnippe, deren (r — t>)-gliedrige Polar-Gruppe 



