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geniigt. Die beiden ersten Gleichungen aber zeigen, dass U der 

 Gruppe (u' x u' 2 . . u' r _2) gehort, deren Funktionen nehmlich den 

 beiden Bedingungen untenvorfen sind: den besprochenen Gleich- 

 ungen zu geniigen, und der Gruppe (u 1 u 2 . . . u r ) zu gehoren. Und 

 die Gleichungen B sagen, dass U ausgezeichnete Funktion der 

 Gruppe . . . u / r _ 2 ) ist. Hiermit ist bewiesen, dassjede aus- 

 gezeichnete Funktion einer r-gliedrigen Gruppe zugleich ausge- 

 zeichnete Funktion in jeder (r — 2)-gliedrige Untergruppe ist. 



Um den uragekehrten Satz zu beweisen, fasse man die ausge- 

 zeichneten Funktionen U' in (u' ? . . . u' T -2) auf als Funktionen von 

 (u, ii, u'j . ..u' r _ 2 ); alsdannmuss man sagen, dass U' nicht allein 



(u\ UO = o , (u' 2 U') = o, . . (u' r _ 2 UO == o 

 sondern auch 



(n t UO = o , (u 2 UO = o 

 geniigt, und also ist U' ausgezeichnete Funktion der Gruppe 

 (Uj Uj u\ Uj . . u' r _ »), oder was auf dasselbe hinauskommt. inder 

 aeqvival enten Gruppe (u x . . . u r ). 



G. Aus den vorangehenden Såtzen fliesst eine allgemeine und 

 aiisserst wichtige Reduction einer jeden Gruppe auf eine cano- 

 nische Form. 



Satz 7. Eine jede Gruppe kånn auf die Form 

 X x X 2 . . . XvP x P 2 . . . Pjjl 

 gebracht werden, wo 



(X; X h ) = , (X; P k ) = , (X; P,) = 1 , (P; P k ) - 0. 



THese Fonn nenne ith eine cWnbltische l'<>rw. 



Ist nehmlich die r-gliedrige Gruppe fu, u 2 . . . u r ) ein Invo- 

 lutions-System, so bcsitzt sie sogleich die canonische Form. und 

 zwar ist v = r , jj. = o. 



Ist (a, u 2 . . . u r ) kein Involutions- System, so zerlege man 

 dieselbe (Satz r>) in eine zweigliedrige und eine (r — 2)-gliedrige 

 Gruppe 



(X, \\)(w' x u' 2 . . . u' r _ 2 ) (1) 

 welche heide in Involution liegen. Ist nun die erhaltene (f — 2)- 

 gliedrige Gruppe ein Involntions-System, so ist (1) die canonische 

 Form der urspmnglichen Gruppe, wobei v = r — l,jx = l. 



