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Gruppe eben dieselben ausgezeicbneten Funktionen wie die ur- 

 spriingliclie Gruppe besitzt. Indem man in dieser Weise weiter 

 geht, sieht man, dass w enn nach q Zerlegungen die erhaltene 

 (r — 2q)-gliedrige Gruppe ein Involutions - System ist, so sind ihre 

 Funktionen eben die ausgezeicbneten Funktionen der ursprung- 

 licben Gruppe, woxnit mein Tbeorem bewiesen ist. 



Satz 9. Stehen 



X^ . . . X q X q+ l. . . Xq + ^P, . . . Pq (A) 



in den Beziehtmgen 



(Xi X k ) = o , (Pi Pk) = o , (X, Pk) = o , (Xi Pi ) = 1 



und gilt dabei heine Belation zuisehen Xq+iXq + 2 Xq+m, 



so ist (A) eine (%({+m)*ffliedrige Gruppe. 



Meine Behauptung kommt darauf hinaus, dass miter den ge- 

 machten Voraussetzung keine Kelation 



"(X, . . . Xq+mP, . • Pq) = 



stattfindet, in welcher eine beliebige unter den G rossen 



X l . . X,, P x . . Pq vorkommt. Denn kame z. B. X x in einer solcben 



Gleichung vor, so erbielten wir 



X, = 9 (X 2 . . . Xq + m P, . . Pq) 



und demzufolge 



(X 1 P 1 ) = ( 9 P 1 ). 

 Dies ist aber absurd, weil linke Seite gleich 1 ist. wåhrend die rechte 

 Seite bei Ausfiihrung identiscb verschwindet. 



Satz 10. Besitzt eine r-gliedrige Gruppe m ausgezeiehnete 

 Funktionen, so ist r — m eine geråde Zahl. 



Denn jede Gruppe kann nach den Satzen 7 und S auf die cano- 

 nische Form 



Xj P, X 2 P, . . . Xq Pq Xq+1 Xq + 2 . . . Xq+m 



gebraebt werden, \vo die m letzten Glieder die ausgezeicbneten 

 Funktionen sind. Nun ist die Zabl der Glieder gleich 2q+m und 

 also ist, wie in unserem Satze bebauptet, die Differens zwischen 

 der Zahl der Glieder und dor Zahl der ausgezeichneten Funktionen 

 eine geråde Zabl, 2q nebmlich. 



llieraus fiiessen die beiden wiclitigen GoroUar. 



