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Corollar 1. Die Zahl der ausgezeichneten Funktionen einer 

 Gruppe mit 2q Glieder ist cnUveder 2q oder 2q— 2 oder 2q— 4 . . . 

 oder 4 oder 2 oder o. 



Corollar 2. Eine (2q-\-l)-gliedrige Gruppe enthalt entweder 

 2q-|-l 0( j er 2q — 1 oder 2q — 3 . . . oder 3 oder 1 ausgezeichnete Funk- 

 tion. Eine solche Gruppe muss also jedmfiuMs eine ausgezeichr/ete 

 Funktion besitzen. 



§ 4. 



Bestimmuiig der invarianten Eigenschaften einer Gruppe. 



Wir zeigen zuerst, dass wenn eine canonische Gruppe vorge- 

 legt ist, so kann man mimer gewisse canonische Gruppen finden. 

 welche die erste enth alten. Indem wir hiermit einen Satz von 

 Bour verbinden, sehen wir ohne Schwierigkeit ein, dass wenn zwei 

 Gruppen gleichviele Glieder und gleichviele ausgezeichnete Funk- 

 tionen besitzen, so giebt es immer Beruhrungs-Transformationen, 

 welche die eine in die and ere uberfuhren. 



7. Satz 1. Ist 



. . . XqXq-fi . . Xq-f m P x P 2 . . . Pq 



eine canonische Gruppe, so giebt es immer Funktionen Pq+i die 



(X k Pq+ l) = , (Pk Pq+ l) = , (Xq+ 1 P q+ ,) = 1 



geben. Alsdann ist 



X x Xg . . . Xq+mPi . P 2 . • . Pq+1 



eine neue canonische Gruppe, welche die vorgelegte umfasst. 

 Beweis.. Offenbar ist 



X x . . . XqXq+2 . . . Xq+mPj . . . Pq (A) 



eine Gruppe, deren Polar- Gruppe X q +i enthalt, und also etwa 

 die Form 



Xq+lU.U, (B) 



besitzt. Nun gehort X q +i nicht der Gruppe A, und ist also nicht 

 ausgezeichnete Funktion (§ 2, Satz 3) in B, welche letzte Gruppe 

 somit (§ 3, Satz 2) Funktionen P q +i enthalt, die 



(Xq+lPq + l) = l 



geben. Aber eine jede solche Funktion P q +i liegt, weil sie B 



Vidensk.-Selsk. Forh. 1873. 3 



