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§ 6. 



Integrations-Methodeii, die sich auf die friiheren Entwickelungen 



stiitzen. 



Ich setze voraus, dass ein Jacobfsches System 



EV = C,F^p=C F q = C 



integrirt werden soll, und dass man eine Zahl Funktionen q>, 9 2 . . <p r 

 kennt, die allen Gleichungen 



(Fi n ) = o\'l = \ ;.vj 



geniigen. Kann man nicht vermoge des Poisson- Jacobfschen 

 Theorems mehrere Funktionen 9 auffinden, so bilden F 1 F 9 »*...Eq 

 . . . 9r eine Gruppe, in welcher ¥ 1 F 2 . . . F q ausgezeich- 

 nete Funktionen sind. Giebt es ausserclem andere ausgezeichnete 

 Funktionen 



Fq+l Fq+2 Fq+JJ. 



so bestimme man dieselben (§ 2, Satz 7) vermoge der Operationen 

 [j. , 1 , [j.— 2 ...3,2,1. 



Alsdann ist 



Fi = C,F 2 = C . . . F q = C . . . F q +{x = C 

 ein neues Jacobfsches System mit r — jj. bekannten Integralen 



9i • • • 9r & 



und offenbar ist die Integration des vorgelegten Jacobfschen Sy- 

 stems auf diej enige des neuen Systems zuruckgefuhrt. 



Man kann bemerken, dass r — \l eine geråde Zahl sein muss, 

 denn r — ist die Differenz zwischen der Zahl der Glieder r + q 

 und der Zahl der ausgezeichneten Funktionen q + [J-, und wir ha- 

 ben bewiesen (§ 3, Satz 10), dass diese Differenz eine geråde Zahl 

 sein muss. 



n. Es steilt sieh hier die aiisserst wichtige Aufgabe, ein Ja- 

 cobfsches System 



Fj = C , F 2 = C . . Fm === C 

 in moglichst einfacher Weise zu integriren, wenn man 2q Integrale 



9i 9 2 • • • 9 2 q I (Fi9k) = o 

 kennt, welche zusammen mit F, F 2 . . . F m eine Gruppe bilden, 

 deren einzige ausgezeichneten Funktionen F x F 2 . . . F m sind. 



