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Xj x 2 . . . X„_2 x n K 



wird aeqvivalent mit 



X l X„ . . . X n _2 X n p n 



und ist in Folge dessen homogen. 



Satz 2. Besitzen zwei reciproke Gruppen bez. die Form 

 N 1 N 2 ...N n _ 2 N 11 _ 1 H 

 l^N, ...N.-oN. K 

 u:o alle N von nullter Dimension sind, und ist dabei die er ste 

 (rnippe homogen, so muss auch die andere es sein. 



Nach unseren Voraussetzungen sind N x N 2 . . . N n _ 2 , die ja gleich- 

 zeitig in den beiden réciproken Gruppen vorkommen, ausgezeichnete 

 Funktionen in beiden Gruppen. Es ist also 



ein Involutions-System, dessen såmmtliche Glieder von nullter Di- 

 mension sind. Alsdann wissen wir (sieh die Einleitung), dass es 

 eine homogene Beruhrungs-Transformation giebt, die jede Funktion 

 Nj in Xj uberfiihrt. Hierbei geht H in eine homogene Funktion h 

 iiber, wåhrend K etwa in k sich transformirt. Aber die neuen réci- 

 proken Gruppen 



x 1 x 2 . . . . X n _2 x n _i h 



X x Xg x n _ 2 x n k 



geniigen den Forderungen des Satzes 1; das heisst die Gruppe 

 ^^...x,, k) ist homogen. Fuhren wir darum die umgekehrte 

 homogene Beruhrungs-Transformation aus, so . geht (x x . . . x„ k) in 

 (N x . . . N n K) iiber, die also auch homogen sein muss. 

 7. Satz 3. Ist x t x 2 . . . x r _! K eine Gruppe und 



(x, F) = o . . . (x t ._, F) = o , (KF) = o = o 



i = 1 y 



ein vollstdndiges System, so muss 



K = K (x x . . . x r _! h) 

 wo h irgend eine homogene Funktion bezeichnet. Es wird voraus- 

 gesetzt, dass r<n. 1 



' Wenn r <C n, so ist die Polar-Gruppe bekanntlich niemals rein-homogen. 

 [ = n dF 



Die Gleichung -2 pi — kann also unter den im Texte gemachten Vor- 

 aussetzungen keine algebraische Consequenz von (x, F) = o,... (x r — l F) 

 = o,(KF)=o sein. 

 Vidensk.-Selsk. Forh 1873. 5 



