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K — O = F (x, . . . x r K) 



oder 



Q = Q(x i . . .x r K); 



aber 



~ dK , dK 



= P»5F, + • • • P- di^ 



und also genugt K 



dK . dK r . , „ m\ 



p l dF; + ---p»d P ; =0 ( x '--- x ' K) 



woraus durch Integration hervorgeht 



K = K (Xj . . . x r h). 

 Anderseits ist dieser Werlh fiir K offenbar eine Losung unseres , 

 Problems, da die Gruppe 



x x . . . x r K (x t . . . x r h) 



auf die Form 



Xj . . . x r h 



gebracht werden kann, und also homogen ist. 

 Unser Satz ist also immer wahr. 



Satz é. Es seien N t N 2 . . . N r _i Funktionen nullter Dimension, 

 die zusammen mit einer Funktion K eine Gruppe bilden. Sollen 

 die Gleichungen 



(N 1 F) = o... (N r _! F) = o, (KF) = o, ^p.dF^o 



i = 1 dpi 



ein vollståndiges System bilden, so muss K die Form 



K = K (N x N 2 . . . N r _i H) 

 besitzen, ivo H eine homogene Funktion ist. 



Bilden N x . . . N r _, kein Involutions-System, so nehme man zwei 

 Funktion etwa ^ und N 2 , die nicht in Involution liegen. Setzen wir 



(N 1 N 2 ) = H 



wo H homogen von — l ter Dimension ist, so kann die Gruppe 

 die aeqvivalente Form 



N x . ...Nr-iH 



annehmen und ist also homogen, womit dieser Fall erledigt ist. 



Bilden N t . . . N r _i ein Involutions-System, so giebt es bekannt- 

 lich homogene Beruhrungs-Transformation, welche jede Funktion 



