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Nj in x, uberfuhren. Oi ese Transformatioii fiihren wir aus auf die 

 Gruppe 



Hf, ...N r _, K 



und ihre Polargruppe, die nach miseren Voraussetzungen 2n— r— 1 

 Funktionen nullter Dimension enthalt und also etwa die Fonn 



N', . . . N' 2n - r _l R' 

 besitzt. Wir erhalten nach der Transformatioii die beiden reci- 

 proken Gruppen 



x l ... x r _, k 



N"j . ...N"> n „ r _, R". 

 Hier mufis nach dem vorangehenden Satze die Gruppe \ t ...x r ^|k 

 homogen sein, und also muss dies auch mit N t . . . ^ r i K der Fall 

 sein. 



§ 



Die Polargruppe einer homogenen Gruppe ist homogen. 



8. Meine Invarianten-Theorie der homogenen Funktionen 

 beruht auf den folgenden fundamentalen Satz. 



Sat z 1. Die Polargruppe riner homogenm Gruppe W h r 



ist homogen {oder rein-homogen). 



Es ist mir noch nicht gelungen. einen einfachen Beweis fur 

 diesen Satz zu tinden; die Richtigkeit desselben kann jedenfalls 

 in folgender Weise eingesehen werden. Ich betrachte vier Falle: 

 r <r n — 1 ; r = n — 1 ; r = n ; r > n. 



a. r < n — 1. 



Ist r <n — 1, so ist 2n — r — 1 > n und also (§ 3, Satz 2) 

 enthalt die (in — r)-gliedrige Polargruppe -in — r — 1 Funktionen 

 nullter Dimension 



N^N,....^,,-^. 

 Dieselben konnen kein Involutions-System bilden, denn ein solenes 

 enthalt ja hochstens n Glieder. und 2n - r — 1 ist grosser als n. 

 ln der Polargruppe tinden sich also immer iwei solche Funktionen 

 nullter Dimension N, und N\, dass (N, NJ von Null verschieden 

 ist. Setzen wir 



(Ni N k ) = H 



