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Denn durch Ausfiihrung finden wir 



(N 1 ,PM) = (N l P)N + (N 1 N)P 



also 



(Ni ,PH) = (N, P) N + ~Jf \n i N k ) P ^ 



Hier ist (N l P) eine Funktion nullter Dimension; (N L N k ) ist von 

 — l ter Dimension, also (N x N k ) P von nullter Dimension. Wir wis- 

 sen aber, dass sowohl (N x P) wie (N A N k ) P sich durch N\ N 2 . . 

 .N r _j P ausdrucken lassen; also geiten Gleichungen der Form 

 (N, P) = tt(N 1 N,...N r _,) 



(N 1 N k ) = f k (N 1 N 2 ...N r „ 1 )- 

 Durch Einsetzung kommt 



(N 4 , P N) L k (N, . . . N r _,) (N, . . . N r _.) § L . 



Wir sehen so, dass die Gleichung 



k =5 r — 1 ,11 



eine lineare partielle Differential-Gleichung zivischen den Variablen 

 1^ N 2 . . . K,._i ist. Bezeichnet N eine beliebige Losung derselben, 

 so geniigt N P der Gleichung 



(N,,KP)=1. 

 Unser Satz ist also bewiesen. 



Satz 2. Eine homogene Gruppe N x . , . N r _i P enthålt Funk- 

 tionen nullter Dimension N (N A . ,.N r _i), die der Gleichung 



(PN) = 1 



genugen. Die gegebene Funktion P darf selbstverståndlicheriveise 

 keine ausgezeichnete Funktion sein. 



Ist nehmlich N = N (N L . . . N r _i), so wird 



(P N) J~i~ ( p Nk) d N 



und hier ist (PN k ) von nullter Dimension und druckt sich also 

 durch Nj . . N r _i aus 



(PN k ) = f k (N 1 ...N r _ 1 ). 

 In Folge dessen sind die Losungen der linearen partiellen Diffe- 

 rential-Gleichung 



